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अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles)
Class 10th Math - Top 15 VVI Questions (New Syllabus)
Q.1 (Most Important Theorem)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Thales Theorem / BPT): सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
Q.2 (Board Favorite)
थेल्स प्रमेय का विलोम (Converse of BPT): सिद्ध कीजिए कि यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
Q.3 (VVI Numerical)
यदि \( \Delta ABC \) में \( DE \parallel BC \) है, जहाँ \( D \) और \( E \) क्रमशः \( AB \) और \( AC \) पर स्थित हैं। यदि \( \frac{AD}{DB} = \frac{3}{5} \) और \( AC = 4.8 \text{ cm} \) है, तो \( AE \) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Q.4
\( ABCD \) एक समलंब (Trapezium) है जिसमें \( AB \parallel DC \) है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु \( O \) पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \) है।
Q.5
एक चतुर्भुज \( ABCD \) के विकर्ण परस्पर बिंदु \( O \) पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \) है। दर्शाइए कि \( ABCD \) एक समलंब (Trapezium) है।
Q.6 (Important Theorem)
(AAA कसौटी): सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप (Similar) होते हैं।
Q.7
आकृति में, यदि \( \Delta ABE \cong \Delta ACD \) है, तो दर्शाइए कि \( \Delta ADE \sim \Delta ABC \) है।
Q.8
लंबाई \( 6 \text{ m} \) वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई \( 4 \text{ m} \) है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई \( 28 \text{ m} \) है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Q.9 (VVI Proof)
\( \Delta ABC \) की भुजा \( BC \) पर एक बिंदु \( D \) इस प्रकार स्थित है कि \( \angle ADC = \angle BAC \) है। दर्शाइए कि \( CA^2 = CB \cdot CD \) है।
Q.10
एक \( 90 \text{ cm} \) की लंबाई वाली लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से \( 1.2 \text{ m/s} \) की चाल से दूर जा रही है। यदि बल्ब भूमि से \( 3.6 \text{ m} \) की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Q.11
\( E \), समांतर चतुर्भुज \( ABCD \) की बढ़ाई गई भुजा \( AD \) पर स्थित एक बिंदु है तथा \( BE \) भुजा \( CD \) को \( F \) पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि \( \Delta ABE \sim \Delta CFB \) है।
Q.12
एक त्रिभुज \( ABC \) की भुजाएँ \( AB \) और \( BC \) तथा माध्यिका (Median) \( AD \) एक अन्य त्रिभुज \( PQR \) की क्रमशः भुजाओं \( PQ \) और \( QR \) तथा माध्यिका \( PM \) के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि \( \Delta ABC \sim \Delta PQR \) है।
Q.13
आकृति में, \( \Delta ABC \) और \( \Delta AMP \) दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण \( B \) और \( M \) समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) \( \Delta ABC \sim \Delta AMP \) और (ii) \( \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP} \)।
Q.14
यदि \( AD \) और \( PM \) त्रिभुजों \( ABC \) और \( PQR \) की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि \( \Delta ABC \sim \Delta PQR \) है। सिद्ध कीजिए कि \( \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} \) है।
Q.15 (Tricky)
आकृति में \( \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} \) तथा \( \angle 1 = \angle 2 \) है। दर्शाइए कि \( \Delta PQS \sim \Delta TQR \) है।
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