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अध्याय 10: वृत्त (Circles)

Class 10th Math - Top 15 VVI Questions (JAC Board)
Q.1 (Theorem 10.1 - VVI)
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा (Tangent) स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या (Radius) पर लंब (Perpendicular) होती है।
Q.2 (Theorem 10.2 - VVI)
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु (External point) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
Q.3 (Board Favorite)
एक बिंदु \( Q \) से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई \( 24 \text{ cm} \) तथा \( Q \) की केंद्र से दूरी \( 25 \text{ cm} \) है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q.4
यदि \( TP \) और \( TQ \) केंद्र \( O \) वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि \( \angle POQ = 110^\circ \), तो \( \angle PTQ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Q.5
एक बिंदु \( A \) से, जो एक वृत्त के केंद्र से \( 5 \text{ cm} \) दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई \( 4 \text{ cm} \) है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Q.6 (Important Proof)
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास (Diameter) के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर (Parallel) होती हैं।
Q.7
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
Q.8 (VVI)
दो संकेंद्री वृत्तों (Concentric circles) की त्रिज्याएँ \( 5 \text{ cm} \) तथा \( 3 \text{ cm} \) हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा (Chord) की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
Q.9 (VVI Proof)
एक वृत्त के परिगत (Circumscribing) एक चतुर्भुज \( ABCD \) खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि \( AB + CD = AD + BC \) है।
Q.10 (Long Proof)
आकृति में, \( XY \) तथा \( X'Y' \), \( O \) केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु \( C \) पर स्पर्श रेखा \( AB \), \( XY \) को \( A \) तथा \( X'Y' \) को \( B \) पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि \( \angle AOB = 90^\circ \) है।
Q.11
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक (Supplementary) होता है।
Q.12 (Board Favorite)
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) समचतुर्भुज (Rhombus) होता है।
Q.13 (Long 5 Marks)
\( 4 \text{ cm} \) त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज \( ABC \) इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड \( BD \) और \( DC \) (जिनमें स्पर्श बिंदु \( D \) द्वारा \( BC \) विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः \( 8 \text{ cm} \) और \( 6 \text{ cm} \) हैं। भुजाएँ \( AB \) और \( AC \) ज्ञात कीजिए।
Q.14 (Tricky Numerical)
\( 5 \text{ cm} \) त्रिज्या के एक वृत्त की \( 8 \text{ cm} \) लंबी एक जीवा (Chord) \( PQ \) है। \( P \) और \( Q \) पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिंदु \( T \) पर प्रतिच्छेद करती हैं। \( TP \) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Q.15
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण (Supplementary angles) अंतरित करती हैं।
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