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अध्याय 12: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Class 10th Math - Top 15 VVI Questions (New Syllabus)
Q.1 (Board Favorite)
दो घनों (Cubes), जिनमें से प्रत्येक का आयतन \( 64 \text{ cm}^3 \) है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ (Cuboid) का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.2
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले (Hemisphere) के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन (Cylinder) अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास \( 14 \text{ cm} \) है और इस बर्तन की कुल ऊँचाई \( 13 \text{ cm} \) है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.3 (VVI)
एक खिलौना त्रिज्या \( 3.5 \text{ cm} \) वाले एक शंकु (Cone) के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई \( 15.5 \text{ cm} \) है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.4
भुजा \( 7 \text{ cm} \) वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.5 (Important)
दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई \( 14 \text{ mm} \) है और उसका व्यास \( 5 \text{ mm} \) है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.6
कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः \( 2.1 \text{ m} \) और \( 4 \text{ m} \) हैं, तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई (Slant height) \( 2.8 \text{ m} \) है, तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.7 (VVI)
ऊँचाई \( 2.4 \text{ cm} \) और व्यास \( 1.4 \text{ cm} \) वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (Conical cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.8
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है। यदि बेलन की ऊँचाई \( 10 \text{ cm} \) है और आधार की त्रिज्या \( 3.5 \text{ cm} \) है, तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Q.9 (Basic Volume)
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ \( 1 \text{ cm} \) हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन (Volume) \( \pi \) के पदों में ज्ञात कीजिए।
Q.10 (VVI - Rachel's Model)
एक इंजीनियर के विद्यार्थी रचेल से एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। मॉडल का व्यास \( 3 \text{ cm} \) है और इसकी लंबाई \( 12 \text{ cm} \) है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई \( 2 \text{ cm} \) हो, तो मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q.11 (Board Favorite - Gulab Jamun)
एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग \( 30\% \) चीनी की चाशनी होती है। \( 45 \) गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई \( 5 \text{ cm} \) और व्यास \( 2.8 \text{ cm} \) है?
Q.12
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हैं। घनाभ की विमाएँ \( 15 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 3.5 \text{ cm} \) हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या \( 0.5 \text{ cm} \) है और गहराई \( 1.4 \text{ cm} \) है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q.13 (VVI Volume Problem)
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई \( 8 \text{ cm} \) है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या \( 5 \text{ cm} \) है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ (Radius \( 0.5 \text{ cm} \)) डाली जाती हैं, तो भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Q.14
लोहे का एक स्तंभ बेलन के आकार का है जिसकी ऊँचाई \( 220 \text{ cm} \) और आधार का व्यास \( 24 \text{ cm} \) है, जिस पर ऊँचाई \( 60 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 8 \text{ cm} \) वाला एक अन्य बेलन अध्यारोपित है। इस स्तंभ का द्रव्यमान (Mass) ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है \( 1 \text{ cm}^3 \) लोहे का द्रव्यमान लगभग \( 8 \text{ g} \) होता है। (\( \pi = 3.14 \) लीजिए)
Q.15
एक ठोस में, ऊँचाई \( 120 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 60 \text{ cm} \) वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो \( 60 \text{ cm} \) त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या \( 60 \text{ cm} \) और ऊँचाई \( 180 \text{ cm} \) है, तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
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