📘 त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: एक 20 मीटर लंबी डोरी को भूमि पर सीधा खंभा बांधकर एक कलाकार उस पर चढ़ता है। यदि भूमि के साथ डोरी का कोण 30° हो, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना टावर की ऊँचाई CD है।
यहाँ, BC = 20 मीटर (डोरी की लंबाई)
∠C = 30°
ΔBCD में,
sin 30° = CD / BC
⇒ 1/2 = CD / 20
⇒ CD = 20 × 1/2
⇒ CD = 10 मीटर
अतः सिद्ध हुआ कि खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है।
प्र.2: आँधी आने से एक पेड़ टूटकर भूमि पर इस प्रकार झुक जाता है कि शिखर भूमि पर 30° का कोण बनाता है। यदि पेड़ के शिखर की आधार से दूरी 8 मीटर है, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेड़ की ऊँचाई CD है।
BC = 8 मीटर (पेड़ का शिखर भूमि से दूरी)
∠C = 30°
ΔBCD में,
tan 30° = CD / BC
⇒ 1/√3 = CD / 8
⇒ CD = 8 / √3
⇒ CD = 8√3 / 3
⇒ CD ≈ 4.62 मीटर
अतः सिद्ध हुआ कि पेड़ की ऊँचाई लगभग 4.62 मीटर है।
प्र.3: एक सीढ़ी 15 मीटर लंबी है और वह एक दीवार से सटी हुई है। यदि सीढ़ी का आधार भूमि पर 9 मीटर दूर है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दीवार की ऊँचाई CD है।
BC = 9 मीटर (सीढ़ी का आधार से दूरी)
AC = 15 मीटर (सीढ़ी की लंबाई)
ΔACD में,
AC² = CD² + BC²
⇒ 15² = CD² + 9²
⇒ 225 = CD² + 81
⇒ CD² = 144
⇒ CD = ±12
चूँकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं होती,
अतः सिद्ध हुआ कि दीवार की ऊँचाई 12 मीटर है।
प्र.4: माना टावर की ऊँचाई CD है। B, टावर के आधार C से 4 मीटर दूर एक बिंदु है और A, बिंदु B से एक ही सीध में 5 मीटर दूर एक बिंदु है। बिंदु B और A से टावर के शीर्ष D के उन्नयन कोण पूरक हैं। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना टावर की ऊँचाई CD है।
BC = 4 मीटर
AB = 5 मीटर
चूँकि A, B के आगे एक ही रेखा पर है,
AC = AB + BC = 5 + 4 = 9 मीटर
बिंदु B और A से टावर के शीर्ष D के उन्नयन कोण पूरक हैं।
यदि एक कोण θ है, तो दूसरा (90° - θ) होगा।
ΔBCD में,
tan θ = CD / BC ⇒ tan θ = CD / 4 …(i)
ΔACD में,
tan (90° - θ) = cot θ = CD / AC
⇒ cot θ = CD / 9
⇒ 1 / tan θ = CD / 9 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
CD / 4 = 9 / CD
⇒ CD² = 36
⇒ CD = ±6
चूँकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं होती,
अतः सिद्ध हुआ कि टावर की ऊँचाई 6 मीटर है।
प्र.5: भूमि से 60m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ पतंग की ऊँचाई = 60 m, डोरी और भूमि के बीच का कोण = 60°
∴ हम sin θ = लंब / कर्ण का उपयोग करेंगे
⇒ sin 60° = 60 / डोरी की लंबाई
⇒ √3 / 2 = 60 / x
∴ x = 60 × 2 / √3 = 120 / √3 = 40√3 m
अतः डोरी की लंबाई = 40√3 मीटर
प्र.6: 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है, तो उसके नेत्र और भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। यह बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
हल:
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी = x
भवन की वास्तविक ऊँचाई = 30 m
लड़के की आँखों की ऊँचाई = 1.5 m
⇒ शुद्ध ऊँचाई = 30 − 1.5 = 28.5 m
पहले,
tan 30° = 28.5 / x ⇒ 1 / √3 = 28.5 / x ⇒ x = 28.5√3
बाद में,
tan 60° = 28.5 / y ⇒ √3 = 28.5 / y ⇒ y = 28.5 / √3
∴ चलकर गई दूरी = x − y = 28.5√3 − 28.5 / √3
= 28.5 (√3 − 1/√3) = 28.5 ( (3−1)/√3 ) = 28.5 × 2/√3 = 57/√3 = 19√3 m
प्र.7: भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के शीर्ष और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए दूरी = x, मीनार की ऊँचाई = h
ΔABC में (भवन का शीर्ष B, मीनार का शीर्ष C):
tan 45° = 20 / x ⇒ 1 = 20 / x ⇒ x = 20
अब, ΔADC में,
tan 60° = (20 + h) / 20 ⇒ √3 = (20 + h)/20
⇒ 20√3 = 20 + h ⇒ h = 20(√3 − 1)
∴ मीनार की ऊँचाई = 20(√3 − 1) मीटर
प्र.8: एक मीनार के शिखर से एक 1.6 m ऊँची मूर्ति दिखाई देती है। मीनार के शिखर से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए पेडस्टल की ऊँचाई = h
दूरी = x
ΔABD में (45° का त्रिभुज):
tan 45° = h / x ⇒ 1 = h / x ⇒ x = h
अब, मूर्ति की कुल ऊँचाई = h + 1.6
ΔACD में (60° का त्रिभुज):
tan 60° = (h + 1.6) / x ⇒ √3 = (h + 1.6)/h
⇒ √3 h = h + 1.6
⇒ h(√3 − 1) = 1.6
⇒ h = 1.6 / (√3 − 1) = (1.6(√3 + 1)) / (3 − 1)
⇒ h = 0.8(√3 + 1) = 0.8√3 + 0.8 मीटर
प्र.9: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए दोनों के बीच की दूरी = x
ΔMAB में,
tan 60° = 50 / x ⇒ √3 = 50 / x ⇒ x = 50 / √3
अब, ΔPBC में,
tan 30° = h / x ⇒ 1 / √3 = h / (50 / √3)
⇒ h = (50 / √3) × (1 / √3) = 50 / 3
∴ भवन की ऊँचाई = 50 / 3 मीटर
प्र.10: एक 10 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने खंभे लगे हैं। खंभों के शीर्षों को जोड़ने वाली रस्सी एक खंभे के पाद बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बिंदु पहले खंभे से x दूरी पर है, तो दूसरे खंभे से दूरी = (10 − x)
दोनों खंभों की ऊँचाई = h
पहले,
tan 60° = h / x ⇒ √3 = h / x ⇒ h = √3 x ....(i)
दूसरे,
tan 30° = h / (10 − x) ⇒ 1/√3 = h / (10 − x)
⇒ h = (10 − x) / √3 ....(ii)
प्र.11: एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिंदु C से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इस बिंदु से 20 m दूर एक और बिंदु D से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए टॉवर की ऊँचाई = h
CD = 20 m (जैसा चित्र में दिया है)
मान लीजिए BC = x
∴ BD = x + 20
ΔABC में:
tan 60° = h / x ⇒ √3 = h / x ⇒ h = √3 x ...(i)
ΔABD में:
tan 30° = h / (x + 20) ⇒ 1 / √3 = h / (x + 20) ⇒ h = (x + 20) / √3 ...(ii)
(i) = (ii):
√3 x = (x + 20) / √3
⇒ 3x = x + 20 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10 m
∴ BC = 10 m (नहर की चौड़ाई)
∴ h = √3 × 10 = 10√3 मीटर (टॉवर की ऊँचाई)
प्र.12: 7 मी ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके पाद से अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए भवन और टॉवर के बीच की दूरी = x
और टॉवर की ऊँचाई = h
भवन की ऊँचाई = 7 मी
∴ भवन के शिखर से केवल टॉवर के शिखर तक की कुल ऊँचाई अंतर = h − 7
ΔABC में (उन्नयन कोण 60°):
tan 60° = (h − 7) / x ⇒ √3 = (h − 7)/x ⇒ h − 7 = √3 x ...(i)
ΔABD में (अवनमन कोण 45°):
tan 45° = 7 / x ⇒ 1 = 7 / x ⇒ x = 7 ...(ii)
(i) में x = 7 रखें:
h − 7 = √3 × 7 = 7√3 ⇒ h = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) मीटर
प्र.13: समुद्र-तल से 75 m ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि छोटे कोण वाला जहाज टॉवर के पीछे हो तो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
लाइट हाउस की ऊँचाई = 75 m
मान लीजिए निकटवर्ती जहाज की दूरी = x, दूरवाले की दूरी = y
ΔABC में:
tan 45° = 75 / x ⇒ 1 = 75 / x ⇒ x = 75 ...(i)
ΔABD में:
tan 30° = 75 / y ⇒ 1/√3 = 75 / y ⇒ y = 75√3 ...(ii)
∴ जहाजों के बीच की दूरी = y − x = 75√3 − 75 = 75(√3 − 1) मीटर
प्र.14: 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर उड़ते गुब्बारे को देखती है। पहले उन्नयन कोण 60° था और कुछ समय बाद 30° हो जाता है। इस दौरान लड़की द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
गुब्बारे की ऊँचाई = 88.2 m
लड़की की ऊँचाई = 1.2 m
∴ वास्तविक ऊँचाई = 88.2 − 1.2 = 87 m
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी = x और अंतिम दूरी = y
ΔABC में (60° उन्नयन कोण):
tan 60° = 87 / x ⇒ √3 = 87 / x ⇒ x = 87 / √3 = 29√3 m ...(i)
ΔABD में (30° उन्नयन कोण):
tan 30° = 87 / y ⇒ 1 / √3 = 87 / y ⇒ y = 87√3 m ...(ii)
∴ तय की गई दूरी = y − x = 87√3 − 29√3 = 58√3 मीटर
⇒ लगभग = 58 × 1.732 = 100.456 मीटर
प्र.15: एक व्यक्ति एक कार को समान चाल से चलता देखता है। शुरू में अवनमन कोण 30° होता है, और 6 सेकंड बाद वही कोण 60° हो जाता है। यदि व्यक्ति और कार के बीच में सीधा रास्ता है, तो कार द्वारा तय किया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए व्यक्ति एक 90 m ऊँचे मीनार के शिखर पर खड़ा है।
नीचे खड़ी कार पहले अवनमन कोण 30° पर दिखती है और फिर 60° पर।
मान लें कि कार की चाल = v m/s
और पहले अवनमन कोण पर दूरी = x
tan 30° = 90 / x ⇒ 1 / √3 = 90 / x ⇒ x = 90√3 m
tan 60° = 90 / y ⇒ √3 = 90 / y ⇒ y = 90 / √3 = 30√3 m
∴ तय की गई दूरी = x − y = 90√3 − 30√3 = 60√3 m
इस दूरी को तय करने में समय = 6 सेकंड
∴ चाल = दूरी / समय = 60√3 / 6 = 10√3 m/s
∴ पूरे रास्ते (90√3) को तय करने में समय = दूरी / चाल = (90√3) / (10√3) = 9 सेकंड
