📘 त्रिकोणमिति - अभ्यास प्रश्न

ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅

📘 Exercise 8.1

प्र.1: ∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C

हल:
∵ ∆ABC में ∠B = 90°, AB = 24 cm, BC = 7 cm

∴ AC² = AB² + BC² (Pythagoras का प्रमेय)
⇒ AC² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
⇒ AC = √625 = 25 cm

अब,
(i) sin A = BC / AC = 7 / 25, cos A = AB / AC = 24 / 25
(ii) sin C = AB / AC = 24 / 25, cos C = BC / AC = 7 / 25

प्र.3: यदि sin A = 3 / 4, तो cos A और tan A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ sin A = विपरीत भुजा / कर्ण = 3 / 4
⇒ विपरीत भुजा = 3, कर्ण = 4

अब, आधार = √(कर्ण² − विपरीत²) = √(4² − 3²) = √(16 − 9) = √7

∴ cos A = आधार / कर्ण = √7 / 4
∴ tan A = विपरीत / आधार = 3 / √7 = 3√7 / 7 (परिमेयकरण करने पर)

प्र.4: यदि 15 cot A = 8, तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ 15 cot A = 8
⇒ cot A = 8 / 15 = आधार / लंब
⇒ आधार = 8, लंब = 15

अब, कर्ण = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17

∴ sin A = लंब / कर्ण = 15 / 17
∴ sec A = कर्ण / आधार = 17 / 8

प्र.5: यदि sec θ = 13 / 12, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ sec θ = कर्ण / आधार = 13 / 12
⇒ कर्ण = 13, आधार = 12
अब, लंब = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5

∴ sin θ = लंब / कर्ण = 5 / 13
∴ cos θ = आधार / कर्ण = 12 / 13
∴ tan θ = लंब / आधार = 5 / 12
∴ cot θ = आधार / लंब = 12 / 5
∴ sec θ = 13 / 12 (दिया गया है)
∴ cosec θ = कर्ण / लंब = 13 / 5

प्र.6: यदि ∠A और ∠B दो न्यून कोण हैं, और cos A = cos B, तो सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠B।

हल:
∵ cos A = cos B
और A तथा B दोनों न्यून कोण हैं (यानि 0° से 90° के बीच)

चूंकि cos function एक-एक मान वाला (one-one) होता है जब θ ∈ (0°, 90°)
अतः cos A = cos B ⇒ ∠A = ∠B

∴ सिद्ध हुआ कि यदि cos A = cos B और दोनों कोण न्यून हों, तो ∠A = ∠B

प्र.7: यदि cot θ = 7 ⁄ 8, तो सिद्ध कीजिए कि:

(i) (1 + sin θ)(1 − sin θ) ⁄ (1 + cos θ)(1 − cos θ)
(ii) cot² θ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ cot θ = 7 ⁄ 8 = आधार ⁄ लम्ब
⇒ आधार = 7, लम्ब = 8
∴ कर्ण = √(7² + 8²) = √(49 + 64) = √113

∴ sin θ = 8 ⁄ √113, cos θ = 7 ⁄ √113

(i) अब,
(1 + sin θ)(1 − sin θ) ⁄ (1 + cos θ)(1 − cos θ)
= (1 − sin² θ) ⁄ (1 − cos² θ)
= cos² θ ⁄ sin² θ = cot² θ

(ii) cot² θ = (7 ⁄ 8)² = 49 ⁄ 64

प्र.8: यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि:
(1 − tan² A) ⁄ (1 + tan² A) = cos² A − sin² A

हल:
∵ 3 cot A = 4 ⇒ cot A = 4 ⁄ 3 = आधार ⁄ लम्ब
⇒ आधार = 4, लम्ब = 3
∴ कर्ण = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

∴ tan A = 3 ⁄ 4, cos A = 4 ⁄ 5, sin A = 3 ⁄ 5

अब,
LHS: (1 − tan² A) ⁄ (1 + tan² A) = (1 − 9 ⁄ 16) ⁄ (1 + 9 ⁄ 16)
= (7 ⁄ 16) ⁄ (25 ⁄ 16) = 7 ⁄ 25

RHS: cos² A − sin² A = (4 ⁄ 5)² − (3 ⁄ 5)² = 16 ⁄ 25 − 9 ⁄ 25 = 7 ⁄ 25

∴ LHS = RHS ⇒ सिद्ध हुआ

प्र.9: त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1 ⁄ √3, तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A  cos C + cos A  sin C
(ii) cos A  cos C − sin A  sin C

हल:
∵ tan A = 1 ⁄ √3 = लम्ब ⁄ आधार
⇒ लम्ब = 1, आधार = √3
∴ कर्ण = √[(√3)² + 1²] = √(3 + 1) = √4 = 2

∴ sin A = 1 ⁄ 2, cos A = √3 ⁄ 2
∠B = 90° ⇒ ∠C = 90° − A
⇒ sin C = cos A, cos C = sin A

(i) sin A × cos C + cos A × sin C
= (1 ⁄ 2) × (1 ⁄ 2) + (√3 ⁄ 2) × (√3 ⁄ 2)
= 1 ⁄ 4 + 3 ⁄ 4 = 1

(ii) cos A × cos C − sin A × sin C
= (√3 ⁄ 2) × (1 ⁄ 2) − (1 ⁄ 2) × (√3 ⁄ 2)
= (√3 ⁄ 4) − (√3 ⁄ 4) = 0

प्र.10: त्रिभुज PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, यदि PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm हो, तो sin P, cos P और tan P का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ ∠Q = 90°, और PQ = 5 cm
मान लेते हैं: PR = x, तो QR = 25 − x

∴ PQ² + QR² = PR²
⇒ 25 + (25 − x)² = x²
⇒ (25 − x)² = x² − 25
खोलें: 625 − 50x + x² = x² − 25
⇒ 650 = 50x
⇒ x = 13

∴ PR = 13 cm, QR = 25 − 13 = 12 cm

अब,
sin P = QR ⁄ PR = 12 ⁄ 13
cos P = PQ ⁄ PR = 5 ⁄ 13
tan P = QR ⁄ PQ = 12 ⁄ 5

प्र.11: बताइए कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:

(i) tan A का मान हमेशा 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के लिए, sec A = 12 ⁄ 5
(iii) cos A और कोण A का cosecant एक युग्म बनाते हैं।
(iv) cot A, cot और कोण A का co-function होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4 ⁄ 3

हल:
(i) ❌ गलत — tan A का मान 0 से ∞ तक हो सकता है जब 0° < A < 90°

(ii) ✔ सही — यदि आधार = 5 और कर्ण = 12, तो sec A = कर्ण ⁄ आधार = 12 ⁄ 5

(iii) ❌ गलत — cos A और cosec A एक-दूसरे के सहकोण नहीं होते। सही युग्म: cos A और sec A

(iv) ✔ सही — cot A और tan A एक-दूसरे के co-function (पूरक फलन) होते

(v) ❌ गलत — sin θ = विपरीत ⁄ कर्ण होता है और इसका मान कभी 1 से अधिक नहीं हो सकता। 4 ⁄ 3 > 1, जो असंभव है।

📘 Exercise 8.2

प्र.1: निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

हल:
∵ sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2
⇒ sin 60° × cos 30° = (√3/2) × (√3/2) = 3/4

∵ sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2
⇒ sin 30° × cos 60° = (1/2) × (1/2) = 1/4

∴ sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 3/4 + 1/4 = 1

(ii): 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल:
∵ tan 45° = 1
⇒ tan² 45° = 1² = 1
∴ 2 tan² 45° = 2 × 1 = 2

∵ cos 30° = √3/2 ⇒ cos² 30° = (√3/2)² = 3/4
∵ sin 60° = √3/2 ⇒ sin² 60° = (√3/2)² = 3/4

अब मानों को जोड़ते हैं:
⇒ 2 + 3/4 – 3/4 = 2

(iii): cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)

हल:
∵ cos 45° = 1/√2
∵ sec 30° = 2/√3
∵ cosec 30° = 2

∴ हर = sec 30° + cosec 30° = (2/√3 + 2)

अब मान = (1/√2) ÷ (2/√3 + 2)
= 1 / [√2 × (2/√3 + 2)]

यदि हम अनुमानित मान लें:
√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732
⇒ cos 45° ≈ 0.707
⇒ sec 30° ≈ 1.154, cosec 30° = 2
⇒ हर = 1.154 + 2 = 3.154

∴ मान = 0.707 ÷ 3.154 ≈ 0.224

(iv): (sin 30° + tan 45° – cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)

हल:
∵ sin 30° = 1/2
∵ tan 45° = 1
∵ cosec 60° = 2/√3 ≈ 1.154

ऊपर = 1/2 + 1 – 1.154 = 1.5 – 1.154 = 0.346

∵ sec 30° = 2/√3 ≈ 1.154
∵ cos 60° = 1/2 = 0.5
∵ cot 45° = 1

नीचे = 1.154 + 0.5 + 1 = 2.654

∴ मान = 0.346 / 2.654 ≈ 0.130

(v): (5 cos² 60° + 4 sec 30° – tan 45°) / (sin 30° + cos 30°)

हल:
∵ cos 60° = 1/2 ⇒ cos² 60° = (1/2)² = 1/4
∴ 5 cos² 60° = 5 × 1/4 = 5/4 = 1.25

∵ sec 30° = 2/√3 ≈ 1.154 ⇒ 4 sec 30° = 4 × 1.154 = 4.616
∵ tan 45° = 1

ऊपर = 1.25 + 4.616 – 1 = 4.866

∵ sin 30° = 1/2 = 0.5
∵ cos 30° = √3/2 ≈ 0.866
नीचे = 0.5 + 0.866 = 1.366

∴ मान = 4.866 / 1.366 ≈ 3.56

प्र.2 (i): निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(2 tan 30°) / (1 + tan 30°)

विकल्प:
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

हल:
∵ tan 30° = 1/√3
∴ मान = (2 × 1/√3) / (1 + 1/√3)

= (2/√3) ÷ ((√3 + 1)/√3) = 2 / (√3 + 1)
Rationalize करें:
= (2 × (√3 – 1)) / (3 – 1) = (2√3 – 2)/2 = √3 – 1

∴ सही उत्तर है: √3 – 1
(यह विकल्पों में नहीं है, अतः दिया गया विकल्प सही नहीं है।)

(ii): (1 – tan² 45°) / (1 + tan² 45°)

विकल्प:
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0

हल:
∵ tan 45° = 1
∴ tan² 45° = 1

मान = (1 – 1) / (1 + 1) = 0 / 2 = 0

∴ सही उत्तर है: (D) 0

(iii): यदि sin 2A = 2 sin A cos A होता है, तो A का मान क्या हो सकता है?

विकल्प:
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

हल:
यह त्रिकोणमितीय पहचान (Identity) है:
sin 2A = 2 sin A cos A
यह सभी A के लिए सत्य है, परन्तु विशेष रूप से जब A = 45°, तब:

बाएँ पक्ष: sin 2A = sin 90° = 1
दाएँ पक्ष: 2 sin 45° cos 45° = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 2 × 1/2 = 1

दोनों पक्ष समान हैं, अतः:
∴ सही उत्तर है: (C) 45°

प्र.2 (iv): (2 tan 30°) / (1 – tan² 30°)

विकल्प:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

हल:
∵ tan 30° = 1/√3
∴ tan² 30° = (1/√3)² = 1/3

अब अभिव्यक्ति = (2 × 1/√3) / (1 – 1/3)
= (2/√3) / (2/3) = (2/√3) × (3/2) = 3/√3 = √3

और ∵ tan 60° = √3
∴ सही उत्तर है: (C) tan 60°

प्र.3: यदि tan(A + B) = 3 और tan(A – B) = 1/3 तथा 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ tan(A + B) = 3
⇒ A + B = tan–1(3) ≈ 71.57° …(1)

∵ tan(A – B) = 1/3
⇒ A – B = tan–1(1/3) ≈ 18.43° …(2)

(1) + (2) करने पर:
⇒ 2A = 90° ⇒ A = 45°

(1) – (2) करने पर:
⇒ 2B = 53.14° ⇒ B = 26.57°

∴ A = 45°, B = 26.57°

प्र.4: बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन से कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित उत्तर की पुष्टि कीजिए:

(i) sin(A + B) = sin A + sin B
उत्तर: असत्य, क्योंकि sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B होता है।

(ii) θ में वृद्धि होने पर sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: सत्य, क्योंकि 0° से 90° के बीच sin θ का मान बढ़ता है।

(iii) θ में वृद्धि होने पर cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: असत्य, क्योंकि cos θ का मान 0° से 90° के बीच घटता है।

(iv) θ के सभी मानों के लिए sin θ = cos θ
उत्तर: असत्य, केवल θ = 45° पर sin θ = cos θ होता है।

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं होता है।
उत्तर: सत्य, क्योंकि cot A = 1 / tan A और tan 0° = 0 होने से cot 0° अनिर्धारित होता है।

📘 Exercise 8.3

प्र.1: त्रिकोणमितीय अनुपात sin A, sec A और tan A को cot A के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
हमें cot A के पदों में निम्नलिखित त्रिकोणमितीय अनुपातों को व्यक्त करना है:

1. sin A:
हमें पता है कि
tan A = sin A / cos A और cot A = 1 / tan A
⇒ tan A = 1 / cot A

अब,
sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos A = √(1 – sin2 A)
लेकिन हम इसे cot A के रूप में सीधे ऐसे लिख सकते हैं:
⇒ sin A = 1 / √(1 + cot2 A)

2. sec A:
sec A = 1 / cos A
और
cos A = cot A / √(1 + cot2 A)
⇒ sec A = √(1 + cot2 A) / cot A

3. tan A:
tan A = 1 / cot A

प्र.2: कोण A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल:
हमें सभी अनुपातों को sec A के पदों में व्यक्त करना है।

1. cos A:
cos A = 1 / sec A

2. sin A:
हमें पता है कि
sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – (1 / sec2 A)
⇒ sin A = √(1 – 1 / sec2 A)

3. tan A:
tan A = sin A / cos A
⇒ tan A = √(sec2 A – 1)

4. cot A:
cot A = 1 / tan A = 1 / √(sec2 A – 1)

5. cosec A:
sin A = √(1 – 1 / sec2 A)
⇒ cosec A = 1 / sin A = 1 / √(1 – 1 / sec2 A)

प्र.3: सही विकल्प चुनिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:

(i) 9 sec²A – 9 tan²A = ?
विकल्प:
(A) 1    (B) 9    (C) 8    (D) 0

उत्तर:
हमें पता है कि: sec²A – tan²A = 1
⇒ 9(sec²A – tan²A) = 9 × 1 = 9
सही उत्तर: (B) 9

(ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ) = ?
विकल्प:
(A) 0    (B) 1    (C) 2    (D) –1

उत्तर:
मान लेते हैं θ = 45°
⇒ tan 45° = 1, sec 45° = √2, cot 45° = 1, cosec 45° = √2
अब, (1 + 1 + √2)(1 + 1 – √2) = (2 + √2)(2 – √2) = 4 – 2 = 2
सही उत्तर: (C) 2

(iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) = ?
विकल्प:
(A) sec A    (B) sin A    (C) cosec A    (D) cos A

उत्तर:
मान लेते हैं A = 30°
⇒ sec 30° = 2/√3, tan 30° = 1/√3, sin 30° = 1/2
⇒ (2/√3 + 1/√3)(1 – 1/2) = (3/√3) × (1/2) = √3 × 1/2 = √3/2
विकल्पों में यही मान sec 30° का ही होता है (approx.)
सही उत्तर: (A) sec A

(iv) (1 + tan²A) / (1 + cot²A) = ?
विकल्प:
(A) sec²A    (B) –1    (C) cot²A    (D) tan²A

उत्तर:
हमें ज्ञात है कि:
1 + tan²A = sec²A
और
1 + cot²A = cosec²A

अतः,
(1 + tan²A) / (1 + cot²A) = sec²A / cosec²A

अब मान लेते हैं A = 45°
⇒ sec 45° = √2 ⇒ sec²A = 2
⇒ cosec 45° = √2 ⇒ cosec²A = 2

⇒ sec²A / cosec²A = 2 / 2 = 1

लेकिन विकल्पों में 1 नहीं है। इसका अर्थ है कि उत्तर विकल्पों में नहीं दिया गया है, परंतु प्रश्न का सही हल है:
सही मान: 1
सही उत्तर: कोई विकल्प नहीं (या पुस्तक में त्रुटि है)
यदि यह प्रश्न प्रतियोगिता के लिए हो, तो सही उत्तर **1** माना जाएगा।

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