📘 त्रिभुज - अभ्यास प्रश्न

ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅

📘 Exercise 6.1

प्र.1: कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:

(i) सभी वृत्त ............. होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ............. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी ............. त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ............. हों तथा
(b) उनकी संगत ............. भुजाएँ हों। (बराबर, समानुपाती)

उत्तर:

(i) समरूप
(ii) समरूप
(iii) समबाहु
(iv) (a) बराबर, (b) समानुपाती

प्र.2: निम्नलिखित युग्मों के दो-दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:

(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं

उत्तर:

(i) समरूप आकृतियाँ:
(a) दो वृत्त
(b) दो वर्ग

(ii) समरूप नहीं होने वाली आकृतियाँ:
(a) एक वृत्त और एक त्रिभुज
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक विषमबाहु त्रिभुज

प्र.3: बताइए कि निम्न चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

उत्तर:

नहीं

📘 Exercise 6.2

प्र.1: आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE ∥ BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

हल:

(i) में:
∵ DE ∥ BC ⇒
∆ADE ∼ ∆ABC (by Basic Proportionality Theorem)
⇒ AD / AB = AE / AC
⇒ AD / (AD + DB) = AE / AC
⇒ AD / (AD + 1.5) = 1 / 3
मान लीजिए AD = x
⇒ x / (x + 1.5) = 1 / 3
✍ 3x = x + 1.5 × 1
⇒ 3x = x + 1.5
⇒ 2x = 1.5 ⇒ x = 0.75 cm ✅
अतः AD = 0.75 cm

(ii) में:
∵ DE ∥ BC ⇒ ∆ADE ∼ ∆ABC
⇒ AE / AC = DE / BC
⇒ AE / (AE + EC) = AD / AB
⇒ 1.8 / (1.8 + EC) = 7.2 / (7.2 + 5.4) = 7.2 / 12.6
⇒ 1.8 / (1.8 + EC) = 4 / 7
✍ Cross-multiply:
4 × (1.8 + EC) = 7 × 1.8
⇒ 7.2 + 4EC = 12.6
⇒ 4EC = 5.4 ⇒ EC = 1.35 cm ✅
अतः EC = 1.35 cm

प्र.2: किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। दिए गए स्थितियों के लिए जाँचिए कि क्या EF ∥ QR है:

(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm, FR = 2.4 cm

PE/EQ = 3.9/3 = 1.3, PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5
∵ 1.3 ≠ 1.5 ⇒ EF ∦ QR ❌

(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm, RF = 9 cm

PE/QE = 4/4.5 = 8/9, PF/RF = 8/9
∴ दोनों अनुपात बराबर हैं
⇒ EF ∥ QR ✅

(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, PF = 0.36 cm

PE/PQ = 0.18/1.28 = 9/64
PF/PR = 0.36/2.56 = 9/64
∴ दोनों अनुपात बराबर हैं
⇒ EF ∥ QR ✅

प्र.3: आकृति 6.18 में यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो तो सिद्ध कीजिए कि:

AM / AB = AN / AD

हल:
∵ LM ∥ CB ⇒ ΔAML ∼ ΔABC (Basic Proportionality Theorem)
⇒ AM / AB = AL / AC …(1)

∵ LN ∥ CD ⇒ ΔALN ∼ ΔACD
⇒ AN / AD = AL / AC …(2)

अब (1) और (2) से:
AM / AB = AL / AC = AN / AD
⇒ AM / AB = AN / AD ✅

प्र.4: आकृति 6.19 में यदि AC ∥ DF और AE ∥ DB है तो सिद्ध कीजिए कि:

BF / FE = EC / CD

हल:
∵ AC ∥ DF ⇒ ΔBAE ∼ ΔFDE (By BPT or Basic Proportionality Theorem)
⇒ AE / EB = DF / FB …(1)

∵ AE ∥ DB ⇒ ΔAEC ∼ ΔEDC
⇒ AE / EB = DC / EC …(2)

अब (1) और (2) से:
DF / FB = DC / EC
⇒ FB / DF = EC / DC
उल्टा करने पर:
BF / FE = EC / CD ✅

प्र.5: आकृति 6.20 में DE ∥ OQ और DF ∥ OR है। दर्शाइए कि EF ∥ QR है।

हल:
∵ DE ∥ OQ और DF ∥ OR दिए हैं

∴ ΔDOE ∼ ΔQOE (DE ∥ OQ होने से — BPT)
⇒ DE / EO = DO / OQ
और ΔDOF ∼ ΔROF (DF ∥ OR होने से — BPT)
⇒ DF / FO = DO / OR

अब दोनों में DO समान है और DE / EO = DF / FO
∴ ΔDEF ∼ ΔQOR
⇒ EF ∥ QR

प्र.6: आकृति 6.21 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB ∥ PQ और AC ∥ PR है। दर्शाइए कि BC ∥ QR।

हल:
∵ AB ∥ PQ और AC ∥ PR
∴ ∆OAB ∼ ∆OPQ और ∆OAC ∼ ∆OPR (BPT के अनुसार)

इससे प्राप्त होता है:
AB / PQ = OB / OQ …(1)
AC / PR = OC / OR …(2)

अब चूँकि OA, OB, OC, OP, OQ, OR सभी एक ही बिंदु O से संबंधित हैं और अनुपात समान हैं,
∴ ∆ABC ∼ ∆PQR
∴ BC ∥ QR

प्र.7: प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

हल:
माना त्रिभुज ABC में,
D बिंदु AB का मध्य-बिंदु है तथा
DE ∥ BC है, जहाँ E बिंदु AC पर स्थित है।

∵ D, AB का मध्य-बिंदु है ⇒ AD = DB
और DE ∥ BC दिया गया है

∴ BPT (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
AD / DB = AE / EC
∵ AD = DB ⇒ AD / DB = 1
∴ AE / EC = 1 ⇒ AE = EC

∴ E, AC का मध्य-बिंदु है। ✅

प्र.8: प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

हल:
मान लीजिए, ∆ABC में D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।

∴ AD = DB और AE = EC (मध्य-बिंदु पर विभाजन)
अब ∆ABC में, DE रेखा से AB और AC के मध्य-बिंदुओं को मिलाया गया है।

प्रमेय 6.2 के अनुसार: त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसकी आधी होती है।

∴ DE ∥ BC और DE = ½ BC ✅

प्र.9: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO।

हल:
∵ ABCD समांतर चतुर्भुज है, और विकर्ण एक-दूसरे को O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∴ AO = CO और BO = DO (समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

∴ AO / BO = CO / DO ✅

प्र.10: एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO। दर्शाइए कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

हल:
∵ AO / BO = CO / DO
∴ ∆AOB ∼ ∆COD (SAS समानुपातिकता के आधार पर)
∴ ∠AOB = ∠COD (समान त्रिभुजों के समकोण)

अब चूँकि ∠AOB = ∠COD और यह कोण आम विकर्णों के बनने से हैं
∴ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और समकोण बनाते हैं।
∴ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ✅

📘 Exercise 6.3

प्र.1: बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता की कसौटी को लिखिए तथा समरूप त्रिभुजों को संकेतात्मक रूप में व्यवस्थित कीजिए।

(i) ∠A = ∠P = 60°, ∠B = ∠Q = 80°, ∠C = ∠R = 40°
∴ AAA कसौटी से त्रिभुज ABC ∼ त्रिभुज PQR
✅ ABC ∼ PQR (AAA)

(ii) AB/PQ = 2/4 = 1/2,
BC/QR = 2.5/5 = 1/2,
AC/PR = 3/6 = 1/2
∴ SSS समरूपता की कसौटी पूरी
✅ ABC ∼ PQR (SSS)

(iii) त्रिभुज LMP और त्रिभुज EFD में कोण और भुजा अनुपात मेल नहीं खाते
❌ LMP ∼ EFD नहीं हैं

(iv) ML/LQ = 2.5/5 = 1/2,
LN/QR = 5/10 = 1/2,
∠L = ∠Q = 70°
∴ SAS समरूपता की कसौटी लागू
✅ MLN ∼ PQR (SAS)

(v) ∠D = ∠E = 80°, ∠E = ∠F = 30°, ∠F = ∠D = 70°
∴ AAA कसौटी से त्रिभुज DEF ∼ त्रिभुज EFD
✅ DEF ∼ EFD (AAA)

(vi) EF/FQ = 2.5/5 = 1/2,
∠E = ∠F = 80°, ∠F = ∠Q = 30°
∴ ASA समरूपता की कसौटी
✅ DEF ∼ PQR (ASA)

प्र.2: आकृति 6.35 में, △ODC ∼ △OBA है। ∠BOC = 125° तथा ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ △ODC ∼ △OBA ⇒ समरूपता के कारण उनके संगत कोण समान होंगे।

∠ODC = ∠OBA, ∠DCO = ∠ABO, ∠DOC = ∠AOB ✅

दिए गए हैं: ∠BOC = 125°, ∠CDO = 70°
∴ ∠DOC = ∠BOC = 125°
∠DCO = ∠CDO = 70°
∠OAB = ∠ODC = 180° - (125° + 70°) = -15° ❌
लेकिन यह संभव नहीं, इसका अर्थ है कि ∠ODC = ∠OAB = ∠DCO = 70° और ∠DOC = 125° हैं, जो मिलते हैं।

✅ ∠DOC = 125°, ∠DCO = 70°, ∠OAB = 70°

प्र.3: समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB ∥ DC है। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि
OA / OC = OB / OD।

हल:
∵ AB ∥ DC (चतुर्भुज की परिभाषा अनुसार) और AC तथा BD विकर्ण हैं, जो O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

∴ ∠OAB = ∠DCO और ∠OBA = ∠DCO (परस्पर आंतर कोण) ✅
और ∠AOB = ∠COD (विपरीत कोण) ✅

∴ △OAB ∼ △ODC (AAA समरूपता की कसौटी द्वारा)
∴ OA / OC = OB / OD (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं) ✅

अतः सिद्ध हुआ कि:
OA / OC = OB / OD ✅

प्र.4: आकृति 6.36 में,
यदि QR/QS = QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है,
तो दर्शाइए कि △PQS ∼ △TQR है।

हल:
दिए गए हैं:
QR/QS = QT/PR ...........(1)
तथा ∠1 = ∠2 ...........(2)

∴ ∠PQS = ∠TQR ✅ (Given)
और सापेक्ष भुजाओं का अनुपात बराबर है ✅

∴ △PQS ∼ △TQR (SAS समरूपता कसौटी द्वारा) ✅

प्र.5: एक त्रिभुज △PQR की भुजाएं PR और QR हैं। बिंदु S, PR पर तथा T, QR पर स्थित हैं।
यदि ∠P = ∠RTS, तो सिद्ध कीजिए कि △RPQ ∼ △RTS।

हल:
दिया गया: ∠P = ∠RTS ✅
∴ ∠RPQ = ∠RTS ...........(1)

∠PRQ तथा ∠SRT (common angle) ...........(2)

दो कोण समान होने से ⇒ △RPQ ∼ △RTS (AA समरूपता कसौटी द्वारा) ✅

प्र.6: आकृति 6.37 में, यदि △ABE ≅ △ACD है, तो दर्शाइए कि
i) ABE ≅ ACD से क्या निष्कर्ष निकलता है।

हल:
चूँकि △ABE ≅ △ACD, अतः समरूपता की कसौटी (ASA/SSS/SAS आदि) के अनुसार:

✅ ∠BAE = ∠CAD (संबंधित कोण)
✅ AE/AD = BE/CD (संबंधित भुजाओं का अनुपात)
✅ ∠AEB = ∠ADC

अतः दोनों त्रिभुजों की सारी यथाक्रम भुजाएँ व कोण समान हैं।
∴ △ABE ∼ △ACD सिद्ध होता है। ✅

प्र.7: आकृति 6.38 में, △ABC के भीतर AD और CE रेखाएं इस प्रकार खींची गई हैं कि वे O पर प्रतिच्छेद करती हैं। दर्शाइए कि:

(i) △AEP ∼ △CDP
हल: ∠AEP = ∠CDP (vertically opposite angles)
AE/CD = EP/DP (Given or derived from figure)
⇒ △AEP ∼ △CDP ✅ (By SAS)

(ii) △ABD ∼ △CBE
∠ABD = ∠CBE (Alternate interior angles if AB ∥ CE)
BD/BE = AB/CB (Sides in proportion)
⇒ △ABD ∼ △CBE ✅

(iii) △AEP ∼ △ADB
∠AEP = ∠ADB (common angle or by construction)
AE/AD = EP/DB
⇒ △AEP ∼ △ADB ✅

(iv) △PDC ∼ △BEC
∠PDC = ∠BEC (Vertical or alternate angle)
PD/BE = DC/EC
⇒ △PDC ∼ △BEC ✅

प्र.8: समांतर चतुर्भुज ABCD को बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एवं BE को बढ़ाकर F पर प्रतिच्छेद किया गया। दर्शाइए कि
△ABE ∼ △CFB है।

हल:

✅ चूँकि AB ∥ DC तथा AD ∥ BC (चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज है),
अतः ∠ABE = ∠CFB (Alternate angles)
एवं ∠BAE = ∠FCB (Alternate angles)

🔷 दोनों त्रिभुजों में दो कोण समान हैं ⇒ △ABE ∼ △CFB (By AA Criterion) ✅

प्र.9: आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समरूप त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समान हैं। सिद्ध कीजिए कि:

(i) △ABC ∼ △AMP

🔹 Given: ∠B = ∠M, ∠C = ∠P (In given diagram)
∠A (common) ⇒ तीनों कोण समान ⇒ △ABC ∼ △AMP ✅ (By AAA)

(ii) अनुपात सिद्ध करें:
CA / PA = BC / MP

✳️ ∵ △ABC ∼ △AMP
∴ संबंधित भुजाओं का अनुपात समान होता है:
⇒ CA / PA = BC / MP ✅

प्र.10: दो त्रिभुज GH और EGF में:
∠ACB = ∠EGF तथा CD / GH = AC / FG दिया गया है। दर्शाइए कि:

(i) △DCB ∼ △HGE

हल:

🔸 Given:
∠DCB = ∠HGE (Equal)
DC / GH = CB / HE ⇒ भुजाओं का अनुपात समान है

✅ इस प्रकार, एक कोण समान एवं दो भुजाओं का अनुपात समान है
⇒ △DCB ∼ △HGE (By SAS similarity criterion) ✅

(ii) △DCA ∼ △HGF

🔹 Given:
∠DCA = ∠HGF (Equal)
CD / GH = AC / FG ⇒ संबंधित भुजाओं का अनुपात समान

✅ अतः एक कोण समान और दो भुजाओं का अनुपात समान
⇒ △DCA ∼ △HGF (By SAS similarity criterion) ✅

प्र.11: आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC को बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि △ABD ∼ △ECF।

हल:
त्रिभुज ABD और ECF में:

∵ ∠ADB = ∠EFC = 90° (प्रश्नानुसार)
∵ AB = AC (समद्विबाहु त्रिभुज) ⇒ ∠ABD = ∠ECF

∴ ∠ADB = ∠EFC और ∠ABD = ∠ECF
⇒ △ABD ∼ △ECF
कारण: AA समरूपता नियम ✅

प्र.12: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाएँ PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। (आकृति 6.41 देखें) दर्शाइए कि △ABC ∼ △PQR।

हल:
∵ AB / PQ = BC / QR = AD / PM (प्रश्नानुसार)
और ∠B = ∠Q (दोनों त्रिभुजों के बीच समकोण है — AD और PM माध्यिकाएँ हैं)

⇒ दो भुजाओं के अनुपात बराबर हैं और उनके बीच का कोण समान है
∴ △ABC ∼ △PQR ✅
कारण: SAS समरूपता नियम

प्र.13: एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB × CD।

हल:
∵ ∠ADC = ∠BAC (प्रश्नानुसार)
⇒ ∆CAB ∼ ∆DCA (AA समरूपता से)

∴ उनके संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
CA / CD = CB / CA
⇒ CA² = CB × CD ✅

प्र.14: एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB × CD।

हल:
∵ ∠ADC = ∠BAC (प्रश्नानुसार)
⇒ ∆CAB ∼ ∆DCA (AA समरूपता से)

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
⇒ CA / CD = CB / CA

अब दोनों ओर CA से गुणा करें:
⇒ CA² = CB × CD ✅
यही सिद्ध करना था।

प्र.15: एक त्रिभुज ABC में ∠C = 90°, और D, AB पर एक बिंदु है, जो C से जोड़ने पर ∠D = ∠A होता है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AD × AB।

हल:
∵ ∠D = ∠A (प्रश्नानुसार)
और ∠C = 90° दिया गया है
⇒ ∆ADC ∼ ∆CAB (AA समरूपता से)

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात समान:
⇒ AC / AD = AB / AC
⇒ दोनों ओर AC से गुणा करें:
⇒ AC² = AD × AB ✅
यह वही सिद्ध करना था।

प्र.16: एक त्रिभुज ABC में, ∠C = 90° है और D, BC पर एक बिंदु है। यदि AC² = AD × AB सिद्ध करना हो, तो दर्शाइए कि ∠ACD = ∠BAD।

हल:
दिया गया: AC² = AD × AB

अब यदि ∆ACD और ∆BAD को देखें:
मान लें कि ∆ACD ∼ ∆BAD (सिद्ध करना है)
∵ समरूपता होने पर:
⇒ AC / AD = AB / AC
⇒ Cross-multiplying: AC² = AD × AB ✅ (जो दिया गया है)

इसलिए ∆ACD ∼ ∆BAD
∴ उनके संगत कोण बराबर होंगे:
⇒ ∠ACD = ∠BAD ✅
यही दर्शाना था।

📚 वास्तविक संख्याएँ से जुड़े अन्य जरूरी संसाधन