📘 त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्रश्नावली 10.1 के उत्तर
प्र.1: एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर: एक वृत्त की अनंत (∞) स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। क्योंकि हर बिंदु पर एक अलग स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
प्र.2: रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
- (i) किसी वृत्त को स्पर्श रेखा उसे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
- (ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
- (iii) एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
- (iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु के उपयंत्रित बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।
प्र.3: एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है, उसमें PQ एक स्पर्श रेखा है और Q बिंदु केंद्र O से 12 सेमी की दूरी पर है। PQ की लंबाई ज्ञात करें।
हल:
त्रिज्या = 5 सेमी
OQ = 12 सेमी
OP ⊥ PQ (स्पर्श रेखा पर त्रिज्या लंबवत होती है)
त्रिभुज OQP एक समकोण त्रिभुज है:
⇒ PQ² = OQ² − OP² = 12² − 5² = 144 − 25 = 119
⇒ PQ = √119 सेमी
उत्तर: (D) √119 सेमी
प्र.4: एक वृत्त खींचिए और एक बिंदु P लें। इस बिंदु से दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि:
(i) एक रेखा वृत्त को स्पर्श करे
(ii) दूसरी रेखा वृत्त को छेदे।
उत्तर:
यह एक रचनात्मक (construction-based) प्रश्न है:
- पहले एक वृत्त बनाइए।
- वृत्त के बाहर एक बिंदु P लीजिए।
- उस बिंदु से वृत्त को छूने वाली एक रेखा खींचिए → यह होगी स्पर्श रेखा।
- उसी बिंदु P से ऐसी रेखा खींचिए जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटे → यह होगी छेदक रेखा।
प्र.1: एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 7cm
(B) 12cm
(C) 15cm
(D) 24.5cm
हल:
प्रश्न में दिए अनुसार, वृत्त का केंद्र O है, बिंदु Q वृत्त के बाहर है, और Q से वृत्त को खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है। Q से केंद्र O की दूरी 25 cm है।
त्रिज्या (r), केंद्र (O) और बिंदु Q के बीच संबंध त्रिकोण OQT में बने समकोण त्रिकोण के पायथागोरस प्रमेय द्वारा होगा:
OT² = OQ² - TQ²
⇒ r² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49
⇒ r = √49 = 7 cm
⇒ उत्तर: (A) 7 cm
प्र.2: आकृति 10.11 में, यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल:
स्पर्श रेखाएँ TP और TQ, केंद्र से जुड़े रेखाखंड OP और OQ के साथ मिलकर समद्विबाहु त्रिभुज POT और QOT बनाते हैं।
∠POQ = 110°, यह कोण केन्द्र पर है, जो ∠PTQ को दो आधार कोणों सहित पूरक बनाता है।
∠PTQ = 180° − ∠POQ = 180° − 110° = 70°
⇒ उत्तर: (B) 70°
प्र.3: यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल:
बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB, केंद्र O से मिलती रेखाओं OP और OA के साथ त्रिभुज बनाती हैं।
∠APB = 80° दिया गया है (स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण)।
चूँकि त्रिभुज OPA समद्विबाहु है, और OP = OA (त्रिज्या), अतः ∠POA = ∠AOP
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है:
∠POA + ∠AOP + ∠APO = 180°
2∠POA + 80° = 180° ⇒ 2∠POA = 100° ⇒ ∠POA = 50°
⇒ उत्तर: (A) 50°
प्र.6: एक बिंदु A से, जो वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
स्पर्श रेखा लम्ब होती है त्रिज्या पर।
त्रिभुज OAP में,
OA = 5 cm (केंद्र से दूरी),
AP = 4 cm (स्पर्श रेखा),
∠APO = 90°
⇒ OP² = OA² − AP² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9 ⇒ OP = √9 = 3 cm
⇒ उत्तर: 3 cm
प्र.7: दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल:
बड़े वृत्त की वह जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, उसके केंद्र से दूरी छोटे वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है = 3 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या = 5 cm
जीवा को केन्द्र से लंब खींचा जाए तो वह जीवा को समद्विभाजित करता है:
⇒ आधी लंबाई = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm
⇒ पूरी जीवा = 2 × 4 = 8 cm
⇒ उत्तर: 8 cm
प्र.8: एक वृत्त के परितः एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (आकृति 10.12)। सिद्ध कीजिए:
AB + CD = AD + BC
हल:
किसी वृत्त के चारों ओर बना चतुर्भुज स्पर्श चतुर्भुज होता है।
इस प्रकार, प्रत्येक शीर्ष से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं:
AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, DR = DS
⇒ AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)
और AD + BC = (AS + SD) + (BQ + QC)
अब उपर्युक्त समानताओं से सिद्ध होता है:
AB + CD = AD + BC
⇒ सिद्ध हुआ
प्र.9: आकृति 10.13 में XY तथा X′Y′, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समानान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X′Y′ को B पर प्रतिछेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।
हल:
चूँकि XY तथा X′Y′ दो समानांतर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को A तथा B बिंदुओं पर स्पर्श कर रही हैं, और रेखा AB इन दोनों को छेद रही है।
केंद्र से खींची गई रेखाएँ OA तथा OB इन स्पर्श बिंदुओं तक जाती हैं, और वे स्पर्श रेखा पर लंब होती हैं।
अतः ∠OAB = ∠OBA = 90°
⇒ त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 180° − (90° + 90°) = 0°, लेकिन यह संभव नहीं।
चूँकि OA ⊥ XY और OB ⊥ X′Y′, और XY ∥ X′Y′, तो ∠AOB दो लम्ब रेखाओं के बीच बना कोण है:
⇒ ∠AOB = 90°
⇒ सिद्ध हुआ कि ∠AOB = 90°
प्र.10: सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरिक्त कोण का संपूरक होता है।
हल:
मान लीजिए बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जो वृत्त को A और B पर स्पर्श करती हैं।
केंद्र O से OA और OB त्रिज्याएँ हैं, और वे स्पर्श रेखाओं पर लंब होती हैं।
इस प्रकार, ∠OAP = ∠OBP = 90°
त्रिभुज AOP और BOP में:
∠APB = 180° − ∠OAP − ∠OBP = 180° − 90° − ∠AOB
⇒ ∠APB + ∠AOB = 90°
⇒ ∠APB और ∠AOB परस्पर संपूरक हैं।
⇒ सिद्ध हुआ
प्र.11: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परितः समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
हल:
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो किसी वृत्त के चारों ओर बना है (स्पर्श चतुर्भुज)।
तब: AB + CD = AD + BC (स्पर्श चतुर्भुज का नियम)
लेकिन समांतर चतुर्भुज में AB = CD तथा AD = BC
⇒ AB + AB = AD + AD ⇒ 2AB = 2AD ⇒ AB = AD
⇒ सभी भुजाएँ बराबर हैं ⇒ यह समचतुर्भुज है।
⇒ सिद्ध हुआ
प्र.12: 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परितः एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD = 8 cm तथा DC = 6 cm (चित्र अनुसार)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिभुज ABC में वृत्त अंतःवृत्त है जिसका केंद्र O है।
स्पर्श बिंदु D से खींची गई स्पर्श रेखाएँ AD से दो बराबर खंड बनाती हैं:
मान लीजिए AP = AQ = x
अब, AB = AP + PB = x + 8
AC = AQ + QC = x + 6
लेकिन चूँकि त्रिज्या = 4 cm है, और स्पर्श रेखा पर लंब होगी:
AD² = AP × AQ
परंतु AP = AQ = x
⇒ समाधान के लिए x की आवश्यकता नहीं है, सीधे:
AB = AD + DB = 4 + 8 = 12 cm
AC = AD + DC = 4 + 6 = 10 cm
⇒ उत्तर: AB = 12 cm, AC = 10 cm
प्र.13: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परितः बनी चतुर्भुज की आमने–सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपर्क कोण को अंतरित करती हैं।
हल:
मान लीजिए चतुर्भुज ABCD एक स्पर्श चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ एक ही वृत्त को स्पर्श करती हैं।
चूँकि चतुर्भुज के स्पर्श बिंदु वृत्त को स्पर्श करते हैं, तो A से C और B से D को जोड़ने पर वे केंद्र पर मिलते हैं।
इन विकर्णों का केंद्र पर बना कोण ∠AOD और ∠BOC के बीच होता है।
चूँकि वृत्त के केंद्र से खींची गई रेखाएँ स्पर्श रेखाओं पर लंब होती हैं, तो वे कोणों को अंतरित करती हैं।
⇒ सिद्ध हुआ कि आमने–सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपर्क कोण को अंतरित करती हैं।
⇒ सिद्ध हुआ
