📘 वृत्त से सबंधित क्षेत्रफल - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल:
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
⇒ (60 / 360) × (22 / 7) × 6 × 6
⇒ (1 / 6) × (22 / 7) × 36
⇒ (22 × 6) / 7 = 132 / 7 cm²
प्र.2: एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
हल:
परिधि = 2πr ⇒ 22 = 2 × (22 / 7) × r
⇒ r = (22 × 7) / (2 × 22) = 7 / 2 cm
चतुर्थांश क्षेत्रफल = (1 / 4) × πr²
⇒ (1 / 4) × (22 / 7) × (7 / 2) × (7 / 2)
⇒ (1 / 4) × (22 / 7) × (49 / 4)
⇒ (1078 / 112) = 539 / 56 cm²
प्र.3: एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
5 मिनट में बना कोण = (360 / 60) × 5 = 30°
क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
⇒ (30 / 360) × (22 / 7) × 14 × 14
⇒ (1 / 12) × (22 / 7) × 196
⇒ (4312 / 84) = 1078 / 21 cm²
प्र.4: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल:
(i) वृत्त का त्रिज्या r = 10 cm
∠ = 90°
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिज्यखण्ड = (90 / 360) × πr² = (1 / 4) × (22 / 7) × 100 = 550 / 7
त्रिभुज क्षेत्रफल = (1 / 2) × 10 × 10 = 50
⇒ लघु वृत्तखंड = 550 / 7 − 50 = (550 − 350) / 7 = 200 / 7 cm²
(ii) दीर्घ त्रिज्यखण्ड = (360 − 90) = 270°
⇒ (270 / 360) × (22 / 7) × 100 = (3 / 4) × 2200 / 7 = 6600 / 28 = 1650 / 7 cm²
प्र.5: त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल:
(i) चाप की लंबाई:
चाप की लंबाई = (θ / 360) × 2πr
⇒ (60 / 360) × 2 × (22 / 7) × 21
⇒ (1 / 6) × (44 × 21 / 7) = (1 / 6) × 132 = 22 cm
(ii) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
⇒ (60 / 360) × (22 / 7) × 21 × 21
⇒ (1 / 6) × (22 / 7) × 441 = (9702 / 42) = 1617 / 7 cm²
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
∠ = 60°, त्रिज्या = 21 cm
त्रिकोण क्षेत्रफल = (1 / 2) × r² × sin(θ)
⇒ (1 / 2) × 21 × 21 × sin(60°) = (441 / 2) × (√3 / 2)
⇒ (441 × 1.73) / 4 = 762.93 / 4 = 190.73 cm² (लगभग)
वृत्तखंड = त्रिज्यखण्ड − त्रिकोण
⇒ (1617 / 7) − 190.73 = 231 − 190.73 = 40.27 cm² (लगभग)
प्र.6: 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)
हल:
(i) त्रिज्यखण्ड = (60 / 360) × πr² = (1 / 6) × (22 / 7) × 15 × 15
= (1 / 6) × (22 × 225 / 7) = 4950 / 42 = 825 / 7 cm²
(ii) त्रिभुज क्षेत्रफल = (1 / 2) × 15 × 15 × sin(60°)
= (1 / 2) × 225 × (√3 / 2) = 225 × 1.73 / 4 = 389.25 / 4 = 97.31 cm²
लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखण्ड − त्रिभुज = (825 / 7) − 97.31 ≈ approx. 20.42 cm²
दीर्घ वृत्तखंड = πr² − लघु = (22 / 7) × 225 − result
= 4950 / 7 − (approx.) 20.42 = approx. 686.15 cm²
प्र.7: त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीव केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)
हल:
त्रिज्या (r) = 12 cm
केन्द्रीय कोण (θ) = 120°
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =
= (θ / 360°) × πr²
= (120 / 360) × 3.14 × 12 × 12
= (1 / 3) × 3.14 × 144
= 3.14 × 48
= 150.72 वर्ग सेमी
∴ संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 150.72 cm²
प्र.8: 15 m भूमि वाले एक वर्गाकार स्थान के मैदान के एक कोने पर लगी खूंटे से एक पशु को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है। पशु रस्सी की पूरी लम्बाई तक एक वृत्त का केवल चौथाई भाग ही चर सकता है। चराई गई घास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हल:
रस्सी की लम्बाई = त्रिज्या (r) = 5 m
चरे गए क्षेत्र का कोण = 90° (एक चौथाई वृत्त)
चराई गई क्षेत्रफल = (90°/360°) × πr²
= (1/4) × 3.14 × 5 × 5
= (1/4) × 3.14 × 25
= (1/4) × 78.5 = 19.625 m²
∴ पशु द्वारा चराई गई क्षेत्रफल = 19.625 वर्ग मीटर
प्र.9: एक वृत्ताकार ब्रोच को चाँदी के तार से बनाया जाता है जिसका व्यास 35 mm है। यदि कोन को 5 त्रिज्याओं द्वारा 10 बराबर भागों में बाँटा गया हो, और प्रत्येक भाग में एक वक्र जोड़ दिया गया हो, तो:
(i) कुल वक्राकार चाँदी के तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(ii) एक वृतखण्ड त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
हल:
व्यास = 35 mm ⇒ त्रिज्या (r) = 35/2 = 17.5 mm
एक वृतखण्ड का कोण = 360° / 10 = 36°
(i) वक्र की लम्बाई:
एक वक्र की लम्बाई = (θ / 360) × 2πr
= (36 / 360) × 2 × (22/7) × 17.5
= (1 / 10) × 2 × (22/7) × 17.5
= (44 / 7) × 1.75 = 11 mm (प्रत्येक वक्र की)
10 वक्रों की कुल लम्बाई = 10 × 11 = 110 mm
5 त्रिज्याएँ = 5 × 17.5 = 87.5 mm
∴ कुल तार की लम्बाई = 110 + 87.5 = 197.5 mm
(ii) एक त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
= (36 / 360) × (22/7) × (17.5)²
= (1 / 10) × (22/7) × 306.25
= (22 × 306.25) / 70 = 96.25 mm²
∴ एक त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल = 96.25 mm²
प्र.10: एक छतरी में 8 त्रिज्याएँ हैं जो बराबर कोण पर जुड़ी हैं (आकृति 11.10)। यदि त्रिज्या 45 cm है, तो दो क्रमागत तांतों के बीच वृतखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
हल:
त्रिज्या (r) = 45 cm
दो तांतों के बीच का कोण = 360° / 8 = 45°
क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
= (45 / 360) × (22/7) × 45 × 45
= (1/8) × (22/7) × 2025
= (22 × 2025) / 56 = 44550 / 56 = 795.54 cm²
∴ दो तांतों के बीच वृतखण्ड का क्षेत्रफल = 795.54 cm²
प्र.11: किसी कार के दो वाइपर हैं, जो अधिकतम 115° तक घूम सकते हैं और प्रत्येक की लम्बाई 25 cm है। दोनों वाइपर एक समकोण (90°) बनाते हैं। दोनों वाइपरों द्वारा एक साथ साफ किए गए क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
हल:
त्रिज्या (r) = 25 cm
एक वाइपर द्वारा घूमे गए कोण = 115°
क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
= (115 / 360) × (22/7) × 25 × 25
= (115 × 22 × 625) / (360 × 7)
= 1581250 / 2520 = 627.88 cm²
दो वाइपर मिलकर = 2 × 627.88 = 1255.76 cm²
∴ कुल साफ़ किया गया क्षेत्र = 1255.76 cm²
प्र.12: एक प्रकाशस्तम्भ जिसकी ऊँचाई 80 m है, समुद्र में 16.5 km (16500 m) दूरी तक प्रकाश डालता है। उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ चेतावनी पहुँचती है। (π = 3.14)
हल:
त्रिज्या (r) = 16.5 km = 16500 m
क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 16500 × 16500
= 3.14 × 272250000 = 854865000 m²
∴ चेतावनी क्षेत्र का क्षेत्रफल = 854865000 वर्ग मीटर
प्र.13: एक गोल मेज़पोश पर छह समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति 11.11 में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)
हल:
डिज़ाइन एक समभुज त्रिभुज के आकार के हैं। कुल 6 डिज़ाइन हैं।
त्रिज्या (r) = 28 cm = समभुज त्रिभुज की भुजा
समभुज त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3 / 4) × भुजा²
= (1.7 / 4) × 28² = (1.7 / 4) × 784 = 1.7 × 196 = 333.2 cm²
6 डिज़ाइनों का कुल क्षेत्रफल = 6 × 333.2 = 1999.2 cm²
लागत = ₹ 0.35 प्रति cm²
कुल लागत = 0.35 × 1999.2 = ₹ 699.72
∴ डिज़ाइन को बनाने की लागत = ₹ 699.72
प्र.14: त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित में से है :
सही विकल्प: (B) (p / 360) × πR²
स्पष्टीकरण:
किसी त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr²
यहाँ θ = p°, r = R
∴ क्षेत्रफल = (p / 360) × πR²
