📘 त्रिकोणमिति - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³
∴ एक घन की भुजा = ∛64 = 4 cm
दो घनों को मिलाकर बना घनाभ:
लंबाई = 4 + 4 = 8 cm, चौड़ाई = 4 cm, ऊँचाई = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(8×4 + 4×4 + 8×4)
= 2(32 + 16 + 32) = 2 × 80 = 160 cm²
प्र.2: कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अर्धगोले का त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 cm
कुल ऊँचाई = 13 cm ⇒ बेलन की ऊँचाई = 13 - 7 = 6 cm
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × 22/7 × 7 × 6 = 264 cm²
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 × 22/7 × 7² = 308 cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 264 + 308 = 572 cm²
प्र.3: एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिज्या r = 3.5 cm
संपूर्ण ऊँचाई = 15.5 cm ⇒ शंकु की ऊँचाई = 15.5 - 3.5 = 12 cm
शंकु की अपवर्तक = l = √(r² + h²) = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 cm
शंकु का वक्र पृष्ठ = πrl = 22/7 × 3.5 × 12.5 = 137.5 cm²
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 × 22/7 × 3.5² = 77 cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 137.5 + 77 = 214.5 cm²
प्र.4: भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि अर्धगोला घन के ऊपर रखा है, इसलिए इसका अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm
⇒ त्रिज्या r = 7 / 2 = 3.5 cm
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 7² = 294 cm²
लेकिन ऊपर वाला एक फलक अर्धगोले से ढका है, इसलिए
प्रभावी पृष्ठीय क्षेत्रफल = 5 × 7² = 245 cm²
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 × 22/7 × 3.5² = 77 cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 245 + 77 = 322 cm²
प्र.5: एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें घन की भुजा = a = 7 cm (जैसा पहले प्रश्न में समान रूप देखा गया)
⇒ अर्धगोले का व्यास = 7 cm ⇒ त्रिज्या r = 7/2 = 3.5 cm
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 7² = 294 cm²
लेकिन जिस फलक पर अर्धगोला काटा गया है, वह अब नहीं गिना जाएगा, उसकी जगह अर्धगोले का अंदरूनी भाग जोड़ा जाएगा:
⇒ प्रभावी घन का क्षेत्रफल = 5 × 7² = 245 cm²
+ अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 × 22/7 × 3.5² = 77 cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 245 + 77 = 322 cm²
प्र.6: दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला जुड़ा हुआ है। पूरी कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का व्यास = 5 mm ⇒ त्रिज्या r = 5/2 = 2.5 mm
कुल लंबाई = 14 mm
अर्धगोलों की संयुक्त लंबाई = व्यास = 5 mm ⇒ बेलन की ऊँचाई = 14 - 5 = 9 mm
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × 22/7 × 2.5 × 9 = 141.43 mm²
दो अर्धगोलों का क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × 22/7 × (2.5)² = 4 × 22/7 × 6.25 = 78.57 mm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 141.43 + 78.57 = 220 mm² (लगभग)
प्र.7: कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू के निर्माण में प्रयुक्त कैनवस का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹500 प्रति m² की दर से इसकी लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दें कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है)
हल:
बेलन की त्रिज्या r = 4 / 2 = 2 m, ऊँचाई h = 2.1 m
शंकु की त्रिज्या = 2 m, तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × 22/7 × 2 × 2.1 = 26.4 m²
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 22/7 × 2 × 2.8 = 17.6 m²
कुल कैनवस क्षेत्रफल = 26.4 + 17.6 = 44 m²
लागत = ₹500 × 44 = ₹22,000
प्र.8: ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिज्या (r) = 1.4 ÷ 2 = 0.7 cm
ऊँचाई (h) = 2.4 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l):
l = √(r² + h²) = √(0.7² + 2.4²) = √(0.49 + 5.76) = √6.25 = 2.5 cm
शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 × π × r × h + π × r × l
= 2 × (22/7) × 0.7 × 2.4 + (22/7) × 0.7 × 2.5
= (22/7) × 0.7 × (4.8 + 2.5)
= (22/7) × 0.7 × 7.3
= (22/7) × 5.11 ≈ 16 cm²
उत्तर: लगभग 16 cm²
प्र.9: लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है, तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिज्या (r) = 3.5 cm
बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो अर्धगोले = बेलन + 1 गोला
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 10 = 220 cm²
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × (22/7) × 3.5 × 3.5 = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 + 154 = 374 cm²
उत्तर: 374 cm²
प्र.1: निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
हल:
∵ sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2
⇒ sin 60° × cos 30° = (√3/2) × (√3/2) = 3/4
∵ sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2
⇒ sin 30° × cos 60° = (1/2) × (1/2) = 1/4
∴ sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 3/4 + 1/4 = 1
(ii): 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
हल:
∵ tan 45° = 1
⇒ tan² 45° = 1² = 1
∴ 2 tan² 45° = 2 × 1 = 2
∵ cos 30° = √3/2 ⇒ cos² 30° = (√3/2)² = 3/4
∵ sin 60° = √3/2 ⇒ sin² 60° = (√3/2)² = 3/4
अब मानों को जोड़ते हैं:
⇒ 2 + 3/4 – 3/4 = 2
(iii): cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)
हल:
∵ cos 45° = 1/√2
∵ sec 30° = 2/√3
∵ cosec 30° = 2
∴ हर = sec 30° + cosec 30° = (2/√3 + 2)
अब मान = (1/√2) ÷ (2/√3 + 2)
= 1 / [√2 × (2/√3 + 2)]
यदि हम अनुमानित मान लें:
√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732
⇒ cos 45° ≈ 0.707
⇒ sec 30° ≈ 1.154, cosec 30° = 2
⇒ हर = 1.154 + 2 = 3.154
∴ मान = 0.707 ÷ 3.154 ≈ 0.224
(iv): (sin 30° + tan 45° – cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)
हल:
∵ sin 30° = 1/2
∵ tan 45° = 1
∵ cosec 60° = 2/√3 ≈ 1.154
ऊपर = 1/2 + 1 – 1.154 = 1.5 – 1.154 = 0.346
∵ sec 30° = 2/√3 ≈ 1.154
∵ cos 60° = 1/2 = 0.5
∵ cot 45° = 1
नीचे = 1.154 + 0.5 + 1 = 2.654
∴ मान = 0.346 / 2.654 ≈ 0.130
(v): (5 cos² 60° + 4 sec 30° – tan 45°) / (sin 30° + cos 30°)
हल:
∵ cos 60° = 1/2 ⇒ cos² 60° = (1/2)² = 1/4
∴ 5 cos² 60° = 5 × 1/4 = 5/4 = 1.25
∵ sec 30° = 2/√3 ≈ 1.154 ⇒ 4 sec 30° = 4 × 1.154 = 4.616
∵ tan 45° = 1
ऊपर = 1.25 + 4.616 – 1 = 4.866
∵ sin 30° = 1/2 = 0.5
∵ cos 30° = √3/2 ≈ 0.866
नीचे = 0.5 + 0.866 = 1.366
∴ मान = 4.866 / 1.366 ≈ 3.56
प्र.2 (i): निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(2 tan 30°) / (1 + tan 30°)
विकल्प:
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल:
∵ tan 30° = 1/√3
∴ मान = (2 × 1/√3) / (1 + 1/√3)
= (2/√3) ÷ ((√3 + 1)/√3) = 2 / (√3 + 1)
Rationalize करें:
= (2 × (√3 – 1)) / (3 – 1) = (2√3 – 2)/2 = √3 – 1
∴ सही उत्तर है: √3 – 1
(यह विकल्पों में नहीं है, अतः दिया गया विकल्प सही नहीं है।)
(ii): (1 – tan² 45°) / (1 + tan² 45°)
विकल्प:
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0
हल:
∵ tan 45° = 1
∴ tan² 45° = 1
मान = (1 – 1) / (1 + 1) = 0 / 2 = 0
∴ सही उत्तर है: (D) 0
(iii): यदि sin 2A = 2 sin A cos A होता है, तो A का मान क्या हो सकता है?
विकल्प:
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
हल:
यह त्रिकोणमितीय पहचान (Identity) है:
sin 2A = 2 sin A cos A
यह सभी A के लिए सत्य है, परन्तु विशेष रूप से जब A = 45°, तब:
बाएँ पक्ष: sin 2A = sin 90° = 1
दाएँ पक्ष: 2 sin 45° cos 45° = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 2 × 1/2 = 1
दोनों पक्ष समान हैं, अतः:
∴ सही उत्तर है: (C) 45°
प्र.2 (iv): (2 tan 30°) / (1 – tan² 30°)
विकल्प:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल:
∵ tan 30° = 1/√3
∴ tan² 30° = (1/√3)² = 1/3
अब अभिव्यक्ति = (2 × 1/√3) / (1 – 1/3)
= (2/√3) / (2/3) = (2/√3) × (3/2) = 3/√3 = √3
और ∵ tan 60° = √3
∴ सही उत्तर है: (C) tan 60°
प्र.3: यदि tan(A + B) = 3 और tan(A – B) = 1/3 तथा 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ tan(A + B) = 3
⇒ A + B = tan–1(3) ≈ 71.57° …(1)
∵ tan(A – B) = 1/3
⇒ A – B = tan–1(1/3) ≈ 18.43° …(2)
(1) + (2) करने पर:
⇒ 2A = 90° ⇒ A = 45°
(1) – (2) करने पर:
⇒ 2B = 53.14° ⇒ B = 26.57°
∴ A = 45°, B = 26.57°
प्र.4: बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन से कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
उत्तर: असत्य, क्योंकि sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B होता है।
(ii) θ में वृद्धि होने पर sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: सत्य, क्योंकि 0° से 90° के बीच sin θ का मान बढ़ता है।
(iii) θ में वृद्धि होने पर cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: असत्य, क्योंकि cos θ का मान 0° से 90° के बीच घटता है।
(iv) θ के सभी मानों के लिए sin θ = cos θ
उत्तर: असत्य, केवल θ = 45° पर sin θ = cos θ होता है।
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं होता है।
उत्तर: सत्य, क्योंकि cot A = 1 / tan A और tan 0° = 0 होने से cot 0° अनिर्धारित होता है।
प्र.1: त्रिकोणमितीय अनुपात sin A, sec A और tan A को cot A के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
हमें cot A के पदों में निम्नलिखित त्रिकोणमितीय अनुपातों को व्यक्त करना है:
1. sin A:
हमें पता है कि
tan A = sin A / cos A और cot A = 1 / tan A
⇒ tan A = 1 / cot A
अब,
sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos A = √(1 – sin2 A)
लेकिन हम इसे cot A के रूप में सीधे ऐसे लिख सकते हैं:
⇒ sin A = 1 / √(1 + cot2 A)
2. sec A:
sec A = 1 / cos A
और
cos A = cot A / √(1 + cot2 A)
⇒ sec A = √(1 + cot2 A) / cot A
3. tan A:
tan A = 1 / cot A
प्र.2: कोण A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
हमें सभी अनुपातों को sec A के पदों में व्यक्त करना है।
1. cos A:
cos A = 1 / sec A
2. sin A:
हमें पता है कि
sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – (1 / sec2 A)
⇒ sin A = √(1 – 1 / sec2 A)
3. tan A:
tan A = sin A / cos A
⇒ tan A = √(sec2 A – 1)
4. cot A:
cot A = 1 / tan A = 1 / √(sec2 A – 1)
5. cosec A:
sin A = √(1 – 1 / sec2 A)
⇒ cosec A = 1 / sin A = 1 / √(1 – 1 / sec2 A)
प्र.3: सही विकल्प चुनिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) 9 sec²A – 9 tan²A = ?
विकल्प:
(A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
उत्तर:
हमें पता है कि: sec²A – tan²A = 1
⇒ 9(sec²A – tan²A) = 9 × 1 = 9
सही उत्तर: (B) 9
(ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ) = ?
विकल्प:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1
उत्तर:
मान लेते हैं θ = 45°
⇒ tan 45° = 1, sec 45° = √2, cot 45° = 1, cosec 45° = √2
अब, (1 + 1 + √2)(1 + 1 – √2) = (2 + √2)(2 – √2) = 4 – 2 = 2
सही उत्तर: (C) 2
(iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) = ?
विकल्प:
(A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A
उत्तर:
मान लेते हैं A = 30°
⇒ sec 30° = 2/√3, tan 30° = 1/√3, sin 30° = 1/2
⇒ (2/√3 + 1/√3)(1 – 1/2) = (3/√3) × (1/2) = √3 × 1/2 = √3/2
विकल्पों में यही मान sec 30° का ही होता है (approx.)
सही उत्तर: (A) sec A
(iv) (1 + tan²A) / (1 + cot²A) = ?
विकल्प:
(A) sec²A (B) –1 (C) cot²A (D) tan²A
उत्तर:
हमें ज्ञात है कि:
1 + tan²A = sec²A
और
1 + cot²A = cosec²A
अतः,
(1 + tan²A) / (1 + cot²A) = sec²A / cosec²A
अब मान लेते हैं A = 45°
⇒ sec 45° = √2 ⇒ sec²A = 2
⇒ cosec 45° = √2 ⇒ cosec²A = 2
⇒ sec²A / cosec²A = 2 / 2 = 1
लेकिन विकल्पों में 1 नहीं है। इसका अर्थ है कि उत्तर विकल्पों में नहीं दिया गया है, परंतु प्रश्न का सही हल है:
सही मान: 1
सही उत्तर: कोई विकल्प नहीं (या पुस्तक में त्रुटि है)
यदि यह प्रश्न प्रतियोगिता के लिए हो, तो सही उत्तर **1** माना जाएगा।
