Class 10 Maths Chapter 13 NCERT Solutions – सांख्यिकी | Merit Yard

📘 सांख्यिकीि - अभ्यास प्रश्न

ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅

📘 Exercise 13.1

प्रश्न 1: विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संवेदना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आंकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य (Average) पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्या (वर्ग)	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14
घरों की संख्या	1	2	1	5	6	2	3

📌 हल:

इस प्रश्न में वर्ग (class interval) और आवृत्ति (frequency) दी गई है, इसलिए हम सर्वसामान्य माध्य निकालने के लिए वर्गों के मध्य मान (class mark) और आवृत्तियों का प्रयोग करेंगे।

माध्य (Mean) = (Σf × x) / Σf

• f = आवृत्ति (No. of houses)
• x = वर्ग का मध्य मान = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2

📊 तालिका:

Class	f	x	f × x
0 - 2	1	1	1
2 - 4	2	3	6
4 - 6	1	5	5
6 - 8	5	7	35
8 - 10	6	9	54
10 - 12	2	11	22
12 - 14	3	13	39
कुल	20	-	162

⇒ माध्य = 162 / 20 = 8.1

🎯 उत्तर:

इसलिए प्रति घर औसतन पौधों की संख्या = 8.1

❓ आपने कौन-सी विधि का प्रयोग किया और क्यों?

हमने प्रत्यक्ष माध्य विधि (Direct Method) का प्रयोग किया क्योंकि यहाँ वर्गों की संख्या कम है और मान छोटे हैं, जिससे गणना सरल बनती है।

प्रश्न 2: एक सर्वेक्षण में 50 श्रमिकों की प्रतिदिन की मजदूरी निम्नलिखित तालिका में दी गई है। प्रतिदिन की औसत मजदूरी (माध्य) ज्ञात कीजिए।

दैनिक मजदूरी (₹ में)	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240
श्रमिकों की संख्या	5	10	12	14	8	1	0

📌 हल:

इस प्रश्न में वर्ग और उनकी आवृत्ति दी गई है, इसलिए हम प्रत्यक्ष माध्य विधि (Direct Method) से हल करेंगे:

माध्य (Mean) = (Σf × x) / Σf

• f = आवृत्ति (No. of workers)
• x = वर्ग का मध्य मान = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2

📊 तालिका:

Class	f	x	f × x
100 - 120	5	110	550
120 - 140	10	130	1300
140 - 160	12	150	1800
160 - 180	14	170	2380
180 - 200	8	190	1520
200 - 220	1	210	210
220 - 240	0	230	0
कुल	50	-	7760

⇒ माध्य = 7760 / 50 = 155.2

🎯 उत्तर:

प्रत्येक श्रमिक की औसत मजदूरी = ₹ 155.2

❓ आपने कौन-सी विधि का प्रयोग किया और क्यों?

इस प्रश्न में दिए गए वर्ग और आवृत्ति सरल और स्पष्ट हैं, इसलिए प्रत्यक्ष माध्य विधि सबसे उपयुक्त रही।

प्रश्न 3: निम्नलिखित वितरण एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च को दर्शाता है। यदि माध्य ₹18 है, तो लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए:

दैनिक जेब खर्च (₹)	11–13	13–15	15–17	17–19	19–21	21–23	23–25
बच्चों की संख्या	7	6	9	13	f	5	4

📘 हल:

चरण 1: वर्ग मध्य (Class Mark) ज्ञात करें:

• 11–13 ⇒ 12
• 13–15 ⇒ 14
• 15–17 ⇒ 16
• 17–19 ⇒ 18
• 19–21 ⇒ 20
• 21–23 ⇒ 22
• 23–25 ⇒ 24

चरण 2: हम मानते हैं कि:

माध्य (Mean), 𝑥̄ = 18

चरण 3: तालिका बनाएं:

वर्ग	fi	xi	fi × xi
11–13	7	12	84
13–15	6	14	84
15–17	9	16	144
17–19	13	18	234
19–21	f	20	20f
21–23	5	22	110
23–25	4	24	96

चरण 4: अब हम माध्य का सूत्र लगाते हैं:

𝑥̄ = (Σfi × xi) / Σfi

18 = (84 + 84 + 144 + 234 + 20f + 110 + 96) / (7 + 6 + 9 + 13 + f + 5 + 4)

18 = (752 + 20f) / (44 + f)

चरण 5: क्रॉस मल्टिप्लाई करें:

18(44 + f) = 752 + 20f

792 + 18f = 752 + 20f

792 - 752 = 20f - 18f

40 = 2f

⇒ f = 20

✅ उत्तर: f = 20

प्रश्न 4: किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दी गई अनुसूची संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए:

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या	65-68	68-71	71-74	74-77	77-80	80-83	83-86
महिलाओं की संख्या	2	4	3	8	4	7	2

📘 हल:

चरण 1: वर्ग मध्य ज्ञात करें:

• 65–68 ⇒ (65+68)/2 = 66.5
• 68–71 ⇒ (68+71)/2 = 69.5
• 71–74 ⇒ (71+74)/2 = 72.5
• 74–77 ⇒ (74+77)/2 = 75.5
• 77–80 ⇒ (77+80)/2 = 78.5
• 80–83 ⇒ (80+83)/2 = 81.5
• 83–86 ⇒ (83+86)/2 = 84.5

चरण 2: Σf = 30

चरण 3: Σ(f×x) = (2×66.5)+(4×69.5)+(3×72.5)+(8×75.5)+(4×78.5)+(7×81.5)+(2×84.5) = 133+278+217.5+604+314+570.5+169 = 2286

चरण 4: माध्य = Σ(f×x)/Σf = 2286/30 = 76.2

अतः हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 76.2

प्रश्न 5: किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेताओं ने पेटियों में रखे आम बेच रखे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था:

आमों की संख्या	50-52	53-55	56-58	59-61	62-64
पेटियों की संख्या	15	110	135	115	25

📘 हल:

चरण 1: वर्ग मध्य ज्ञात करें:

• 50–52 ⇒ (50+52)/2 = 51
• 53–55 ⇒ (53+55)/2 = 54
• 56–58 ⇒ (56+58)/2 = 57
• 59–61 ⇒ (59+61)/2 = 60
• 62–64 ⇒ (62+64)/2 = 63

चरण 2: Σf = 400

चरण 3: Σ(f×x) = (15×51)+(110×54)+(135×57)+(115×60)+(25×63) = 765+5940+7695+6900+1575 = 22875

चरण 4: माध्य = Σ(f×x)/Σf = 22875/400 = 57.1875

अतः प्रति पेटी आमों की माध्य संख्या = 57.19 (लगभग)

प्र.6: निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

दैनिक व्यय (रुपयों में)	100-150	150-200	200-250	250-300	300-350
परिवारों की संख्या	4	5	12	2	2

प्रश्न: एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
इस असमांतर वर्गों वाले सांख्यिकीय वितरण में माध्य निकालने के लिए हम मध्य बिंदु (Class Mark) एवं मध्य श्रेणी विधि का उपयोग करते हैं:

प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु:
100-150 → 125
150-200 → 175
200-250 → 225
250-300 → 275
300-350 → 325

सारणी:

वर्ग	fi (संख्या)	xi (मध्य बिंदु)	fixi
100-150	4	125	500
150-200	5	175	875
200-250	12	225	2700
250-300	2	275	550
300-350	2	325	650
योग	25	–	5275

माध्य (Mean) = Σfixi / Σfi = 5275 / 25 = 211 रुपये

प्र.7: वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की मात्रा (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

SO2 की सांद्रता	बारंबारता
0.00 - 0.04	4
0.04 - 0.08	9
0.08 - 0.12	9
0.12 - 0.16	2
0.16 - 0.20	4
0.20 - 0.24	2

प्रश्न: वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु (xi) निकालते हैं:
0.00–0.04 → 0.02, 0.04–0.08 → 0.06, 0.08–0.12 → 0.10, 0.12–0.16 → 0.14, 0.16–0.20 → 0.18, 0.20–0.24 → 0.22

वर्ग	fi	xi	fixi
0.00 - 0.04	4	0.02	0.08
0.04 - 0.08	9	0.06	0.54
0.08 - 0.12	9	0.10	0.90
0.12 - 0.16	2	0.14	0.28
0.16 - 0.20	4	0.18	0.72
0.20 - 0.24	2	0.22	0.44
योग	30	-	2.96

माध्य (Mean) = Σfixi / Σfi = 2.96 / 30 = 0.0987 ppm (लगभग)

प्र.8: किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जिन दिनों अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

दिनों की संख्या	0 - 6	6 - 10	10 - 14	14 - 20	20 - 28	28 - 38	38 - 40
विद्यार्थियों की संख्या	11	10	7	4	4	3	1

हल:
प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु:
0–6 → 3, 6–10 → 8, 10–14 → 12, 14–20 → 17, 20–28 → 24, 28–38 → 33, 38–40 → 39

वर्ग	fi	xi	fixi
0 - 6	11	3	33
6 - 10	10	8	80
10 - 14	7	12	84
14 - 20	4	17	68
20 - 28	4	24	96
28 - 38	3	33	99
38 - 40	1	39	39
योग	40	-	499

माध्य (Mean) = Σfixi / Σfi = 499 / 40 = 12.475 दिन (लगभग)

प्र.9: निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

साक्षरता दर (% में)	45 - 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95
नगरों की संख्या	6	10	11	5	3

हल:
प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु:
45–55 → 50, 55–65 → 60, 65–75 → 70, 75–85 → 80, 85–95 → 90

वर्ग	fi	xi	fixi
45 - 55	6	50	300
55 - 65	10	60	600
65 - 75	11	70	770
75 - 85	5	80	400
85 - 95	3	90	270
योग	35	-	2340

माध्य साक्षरता दर = Σfixi / Σfi = 2340 / 35 = 66.86% (लगभग)

प्र.1: निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

आयु (वर्ष में)	5 - 15	15 - 25	25 - 35	35 - 45	45 - 55	55 - 65
रोगियों की संख्या	6	11	21	23	14	5

हल: हम बहुलक और माध्य आयु ज्ञात करेंगे:

बहुलक (Mode):
बहुलक वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
सबसे अधिक बारंबारता = 23 (वर्ग: 35 - 45)

Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
L = 35, f1 = 23, f0 = 21, f2 = 14, h = 10
Mode = 35 + [(23 - 21) / (2×23 - 21 -14)] × 10
= 35 + (2 / 11) × 10 = 35 + 1.82 = 36.82 वर्ष

माध्य (Mean):
xi: मध्य बिंदु = 10, 20, 30, 40, 50, 60

वर्ग	fi	xi	fixi
5 - 15	6	10	60
15 - 25	11	20	220
25 - 35	21	30	630
35 - 45	23	40	920
45 - 55	14	50	700
55 - 65	5	60	300
योग	80	-	2830

Mean = Σfixi / Σfi = 2830 / 80 = 35.375 वर्ष

प्र.2: निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के औसत जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :

जीवनकाल (घंटों में)	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
बारंबारता	10	35	52	61	38	29

हल: बहुलक जीवनकाल ज्ञात करें:

अधिकतम बारंबारता = 61 (वर्ग: 60 - 80)
L = 60, f1 = 61, f0 = 52, f2 = 38, h = 20
Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
= 60 + [(61 - 52) / (2×61 - 52 - 38)] × 20
= 60 + (9 / 32) × 20 = 60 + 5.625 = 65.625 घंटे

प्र.3: निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक खर्च दर्शाते हैं।

व्यय (₹ में)	1000-1500	1500-2000	2000-2500	2500-3000	3000-3500	3500-4000	4000-4500	4500-5000
परिवारों की संख्या	24	40	33	28	30	22	16	7

हल:
सबसे अधिक बारंबारता = 40 (वर्ग: 1500 - 2000)
L = 1500, f1 = 40, f0 = 24, f2 = 33, h = 500
Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
= 1500 + [(40 - 24)/(80 - 24 - 33)] × 500
= 1500 + (16 / 23) × 500 = 1500 + 347.83 = 1847.83 ₹ (लगभग)

प्र.4: निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15 - 20	3
20 - 25	8
25 - 30	9
30 - 35	10
35 - 40	3
40 - 45	0
45 - 50	0
50 - 55	2

हल:

बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारंबारता = 10 (वर्ग: 30 - 35)
L = 30, f1 = 10, f0 = 9, f2 = 3, h = 5
Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
= 30 + [(10 - 9)/(2×10 - 9 - 3)] × 5
= 30 + (1 / 8) × 5 = 30 + 0.625 = 30.625

माध्य (Mean):
xi: मध्य बिंदु = 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5, 52.5

वर्ग	fi	xi	fixi
15 - 20	3	17.5	52.5
20 - 25	8	22.5	180
25 - 30	9	27.5	247.5
30 - 35	10	32.5	325
35 - 40	3	37.5	112.5
40 - 45	0	42.5	0
45 - 50	0	47.5	0
50 - 55	2	52.5	105
योग	35	-	1022.5

Mean = Σfixi / Σfi = 1022.5 / 35 = 29.21 (लगभग)

निष्कर्ष: बहुलक शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात 30.625 है, जबकि औसत अनुपात 29.21 है, जो इंगित करता है कि अधिकांश राज्यों में प्रति शिक्षक लगभग 30 छात्र हैं।

प्र.5: दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाज़ों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है:

बनाए गए रन	बल्लेबाज़ों की संख्या
3000 - 4000	4
4000 - 5000	18
5000 - 6000	9
6000 - 7000	7
7000 - 8000	6
8000 - 9000	3
9000 - 10000	1
10000 - 11000	1

बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारंबारता = 18 (वर्ग: 4000 - 5000)
L = 4000, f1 = 18, f0 = 4, f2 = 9, h = 1000
Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
= 4000 + [(18 - 4)/(2×18 - 4 - 9)] × 1000
= 4000 + (14 / 23) × 1000 ≈ 4000 + 608.7 = 4608.7 रन

प्र.6: एक विद्यार्थी ने एक सड़क पर 3 मिनट के अंतराल पर 100 बार प्रेक्षण कर, कारों की संख्या नोट की। आँकड़ों का वितरण नीचे है:

कारों की संख्या	बारंबारता
0 - 10	7
10 - 20	14
20 - 30	13
30 - 40	12
40 - 50	20
50 - 60	14
60 - 70	15
70 - 80	8

बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारंबारता = 20 (वर्ग: 40 - 50)
L = 40, f1 = 20, f0 = 12, f2 = 14, h = 10
Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
= 40 + [(20 - 12)/(2×20 - 12 - 14)] × 10
= 40 + (8 / 14) × 10 ≈ 40 + 5.71 = 45.71 कारें

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