📘प्रायिकता - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: निम्नलिखित वाक्यों को पूरा कीजिए:
(i) किसी घटना E की प्रायिकता + ‘E नहीं होने’ की प्रायिकता = __________
(ii) ऐसी घटना जो कभी नहीं घट सकती, उसकी प्रायिकता = __________। ऐसी घटना को ________ कहा जाता है।
(iii) ऐसी घटना जो निश्चित रूप से घटेगी, उसकी प्रायिकता = __________। ऐसी घटना को ________ कहा जाता है।
(iv) किसी प्रायोगिक परीक्षण की सभी मूलभूत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग = __________
(v) किसी भी घटना की प्रायिकता कम से कम ___ और अधिक से अधिक __________ हो सकती है।
उत्तर:
(i) किसी घटना E की प्रायिकता + ‘E नहीं होने’ की प्रायिकता = 1
(ii) ऐसी घटना जो कभी नहीं घट सकती, उसकी प्रायिकता = 0। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।
(iii) ऐसी घटना जो निश्चित रूप से घटेगी, उसकी प्रायिकता = 1। ऐसी घटना को निश्चित घटना या सुनिश्चित घटना कहा जाता है।
(iv) किसी प्रायोगिक परीक्षण की सभी मूलभूत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग = 1
(v) किसी भी घटना की प्रायिकता कम से कम 0 और अधिक से अधिक 1 हो सकती है।
प्र.2: निम्नलिखित में से किन प्रयोगों के परिणाम समान संभाव्य (equally likely) हैं? स्पष्ट कीजिए:
(i) एक ड्राइवर कार स्टार्ट करने का प्रयास करता है। कार स्टार्ट होती है या नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल शॉट लेने का प्रयास करता है। वह शॉट लगाता है या चूक जाता है।
(iii) एक समाधान के लिए प्रयास किया जाता है: एक सही-गलत प्रश्न। उत्तर सही या गलत हो सकता है।
(iv) एक शिशु का जन्म होता है। वह लड़का होता है या लड़की।
उत्तर:
(i) यह प्रयोग समान संभाव्य परिणाम नहीं दर्शाता क्योंकि कार का स्टार्ट होना कई कारकों पर निर्भर करता है जैसे ईंधन की मात्रा आदि।
(ii) यह भी समान संभाव्य परिणाम नहीं दर्शाता क्योंकि खिलाड़ी का शॉट लगाना उसकी क्षमता, दूरी, अभ्यास आदि पर निर्भर करता है।
(iii) यह प्रयोग समान संभाव्य परिणाम दर्शाता है क्योंकि सही-गलत प्रश्न का उत्तर केवल दो ही हो सकते हैं – सही या गलत।
(iv) यह प्रयोग भी समान संभाव्य परिणाम दर्शाता है क्योंकि जन्म लेने वाला शिशु या तो लड़का हो सकता है या लड़की।
प्र.3: फुटबॉल खेल की शुरुआत में यह तय करने के लिए कि किस टीम को गेंद मिलेगी, सिक्का उछालना एक उचित (fair) तरीका क्यों माना जाता है?
उत्तर:
सिक्का उछालना एक उचित (fair) तरीका माना जाता है क्योंकि इसके केवल दो ही संभावित परिणाम होते हैं — हेड या टेल।
चूंकि ये दोनों परिणाम समान संभाव्यता (equally likely) रखते हैं, इसलिए यह प्रक्रिया पूर्वानुमान नहीं की जा सकती और पूर्णतः निष्पक्ष (unbiased) मानी जाती है।
प्र.4: निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता?
(A) 2/3, (B) -1.5, (C) 15%, (D) 0.7
उत्तर:
किसी भी घटना E की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है, यानी 0 ≤ P(E) ≤ 1।
इसलिए ऊपर दिए गए विकल्पों में (B) -1.5 किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता।
प्र.5: यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘not E’ की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
हमें पता है कि, P(E) + P(not E) = 1
दिया गया है, P(E) = 0.05
तो, P(not E) = 1 - 0.05 = 0.95
∴ ‘not E’ की प्रायिकता = 0.95
प्र.6: एक थैली में केवल नींबू स्वाद वाली टॉफियाँ हैं। मालिनी बिना देखे एक टॉफी निकालती है।
तो निम्नलिखित में से किसी घटना की प्रायिकता बताइए:
(i) संतरे स्वाद वाली टॉफी निकालने की
(ii) नींबू स्वाद वाली टॉफी निकालने की
उत्तर:
(i) चूँकि थैली में केवल नींबू स्वाद वाली टॉफियाँ हैं, इसलिए संतरे स्वाद वाली टॉफियों की संख्या = 0
∴ संतरे स्वाद वाली टॉफी निकालने की प्रायिकता = 0/1 = 0
(ii) चूँकि सभी टॉफियाँ नींबू स्वाद की हैं,
∴ नींबू स्वाद वाली टॉफी निकालने की प्रायिकता = 1
प्र.7: यह दिया गया है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में, 2 विद्यार्थियों के एक ही जन्मदिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। तो 2 विद्यार्थियों के एक ही जन्मदिन होने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
मान लीजिए, 2 विद्यार्थियों के एक ही जन्मदिन होने की घटना = E
दिया गया है, P(E) = 0.992
हमें ज्ञात है, P(E) + P(not E) = 1
∴ P(not E) = 1 – 0.992 = 0.008
इसलिए, 2 विद्यार्थियों के एक ही जन्मदिन होने की प्रायिकता = 0.008
प्र.8: एक थैले में 3 लाल गेंदें और 5 काली गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया (randomly) एक गेंद निकाली जाती है। उस गेंद के
(i) लाल होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) लाल नहीं होने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
थैले में कुल गेंदों की संख्या = लाल गेंदें + काली गेंदें = 3 + 5 = 8
हमें ज्ञात है:
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) लाल गेंद निकाले जाने की प्रायिकता = P(लाल) = 3/8
(ii) लाल नहीं (अर्थात् काली) गेंद निकाले जाने की प्रायिकता = P(काली) = 5/8
प्र.9: एक डिब्बे में 5 लाल, 8 सफेद और 4 हरे रंग की कंचे हैं। डिब्बे से यादृच्छया (randomly) एक कंचा निकाला जाता है। उस कंचे के
(i) लाल होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) सफेद होने की प्रायिकता क्या है?
(iii) हरा नहीं होने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
हमें ज्ञात है:
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) लाल कंचा निकलने की प्रायिकता = P(लाल) = 5/17 ≈ 0.29
(ii) सफेद कंचा निकलने की प्रायिकता = P(सफेद) = 8/17 ≈ 0.47
(iii) हरा कंचा निकलने की प्रायिकता = P(हरा) = 4/17 ≈ 0.23
∴ हरा नहीं निकलने की प्रायिकता = P(हरा नहीं) = 1 – 4/17 = 13/17 ≈ 0.77
प्र.10: एक गुल्लक में 100 सिक्के 50 पैसे के, 50 सिक्के ₹1 के, 20 सिक्के ₹2 के और 10 सिक्के ₹5 के हैं। यदि गुल्लक को उल्टा करने पर कोई एक सिक्का यादृच्छया (randomly) गिरने की समान संभावना है, तो निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) गिरने वाला सिक्का 50 पैसे का हो
(ii) गिरने वाला सिक्का ₹5 का न हो
उत्तर:
कुल सिक्कों की संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) 50 पैसे का सिक्का गिरने की प्रायिकता = 100/180 = 5/9 ≈ 0.55
(ii) ₹5 का सिक्का गिरने की प्रायिकता = 10/180 = 1/18 ≈ 0.055
∴ ₹5 का न गिरने की प्रायिकता = 1 – 0.055 = 0.945
प्र.11: गोपी अपने एक्वेरियम के लिए एक दुकान से मछली खरीदता है। दुकानदार एक टैंक से, जिसमें 5 नर मछलियाँ और 8 मादा मछलियाँ हैं, यादृच्छया एक मछली निकालता है। वह मछली नर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
कुल मछलियों की संख्या = 5 + 8 = 13
नर मछलियों की संख्या = 5
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
∴ P(नर मछली) = 5/13 ≈ 0.38
प्र.12: एक खेल में एक तीर को घुमाया जाता है, जो रुकने के बाद 1 से 8 में से किसी एक संख्या की ओर इशारा करता है। सभी संभावनाएँ समान रूप से संभावित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तीर:
(i) संख्या 8 पर रुके
(ii) कोई विषम संख्या दर्शाए
(iii) 2 से बड़ी संख्या दर्शाए
(iv) 9 से कम संख्या दर्शाए
उत्तर:
कुल संभावित परिणाम = 8 (1 से 8 तक)
(i) संख्या 8 पर रुकने की प्रायिकता = 1/8 = 0.125
(ii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5, 7 → 4 संख्याएँ
P(विषम संख्या) = 4/8 = 1/2 = 0.5
(iii) 2 से बड़ी संख्याएँ = 3, 4, 5, 6, 7, 8 → 6 संख्याएँ
P(>2 संख्या) = 6/8 = 3/4 = 0.75
(iv) 9 से कम संख्या = सभी 8 संख्याएँ
P(<9 1="" 8="" p="">
प्र.13: एक पासा एक बार फेंका गया। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य (prime) संख्या प्राप्त हो
(ii) ऐसी संख्या मिले जो 2 और 6 के बीच हो
(iii) एक विषम संख्या प्राप्त हो
उत्तर:
संभावित परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
(i) अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5 → कुल 3
P(अभाज्य संख्या) = 3/6 = 1/2 = 0.5
(ii) 2 और 6 के बीच की संख्याएँ = 3, 4, 5 → कुल 3
P(2 और 6 के बीच) = 3/6 = 1/2 = 0.5
(iii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5 → कुल 3
P(विषम संख्या) = 3/6 = 1/2 = 0.5
प्र.14: 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक कार्ड निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त कार्ड:
(i) लाल रंग का राजा हो
(ii) एक चेहरा (face) कार्ड हो
(iii) लाल रंग का चेहरा कार्ड हो
(iv) हार्ट (♥) का जैक हो
(v) स्पेड (♠) हो
(vi) डायमंड (♦) की रानी हो
उत्तर:
कुल संभावित परिणाम = 52
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) लाल रंग के राजा = 2 (हीर और दिल का राजा)
∴ P(लाल रंग का राजा) = 2/52 = 1/26 ≈ 0.038
(ii) कुल face cards = 12 (हर सूट में 3 face cards: राजा, रानी, जैक)
∴ P(face card) = 12/52 = 3/13 ≈ 0.23
(iii) लाल रंग के face cards = 6 (दिल और हीर के 3-3 face cards)
∴ P(लाल face card) = 6/52 = 3/26 ≈ 0.11
(iv) हार्ट का जैक = 1
∴ P(जैक ऑफ हार्ट) = 1/52 ≈ 0.019
(v) स्पेड के कार्ड = 13
∴ P(स्पेड कार्ड) = 13/52 = 1/4 = 0.25
(vi) डायमंड की रानी = 1
∴ P(क्वीन ऑफ डायमंड) = 1/52 ≈ 0.019
प्र.15: डायमंड के 5 पत्ते — दस, जैक, क्वीन, किंग और ऐस — अच्छी तरह फेंटे गए और उलटे रखे गए। फिर एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला गया।
(i) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड क्वीन है।
(ii) यदि क्वीन निकाल कर अलग रख दी जाए, तो दूसरी बार निकाले गए कार्ड की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह:
(a) ऐस है
(b) क्वीन है
उत्तर:
कुल कार्डों की संख्या = 5
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) कुल क्वीन की संख्या = 1
∴ P(क्वीन) = 1/5 = 0.2
(ii) यदि क्वीन को अलग रख दिया जाए, तो शेष कार्ड = 4
(a) कुल ऐस = 1
∴ P(ऐस) = 1/4 = 0.25
(b) क्वीन पहले ही हटा दी गई है, अब क्वीन नहीं बची
∴ P(क्वीन) = 0/4 = 0
प्र.16: 12 खराब पेन गलती से 132 अच्छे पेन के साथ मिला दिए गए। किसी पेन को देखकर यह पता नहीं लगाया जा सकता कि वह खराब है या नहीं। इन सभी में से एक पेन यादृच्छिक रूप से निकाला गया। उस पेन के अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
कुल पेन = अच्छे पेन + खराब पेन = 132 + 12 = 144
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
∴ P(अच्छा पेन) = 132/144 = 11/12 = 0.916
प्र.17: (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 खराब बल्ब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला गया। उस बल्ब के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) मान लीजिए कि निकाला गया बल्ब खराब नहीं था और उसे वापस नहीं रखा गया। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला गया। उस बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) कुल बल्ब = 20, खराब बल्ब = 4
∴ P(खराब बल्ब) = 4/20 = 1/5 = 0.2
(ii) एक अच्छा बल्ब निकाला गया और वापस नहीं रखा गया ⇒ बचे बल्ब = 19
अब खराब बल्ब = 4, तो अच्छे बल्ब = 19 - 4 = 15
∴ P(अच्छा बल्ब) = 15/19 = 0.789
प्र.18: एक बॉक्स में 90 डिस्क हैं जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं। यदि बॉक्स से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है, तो उस पर अंकित संख्या के
(i) दो अंकीय संख्या होने की,
(ii) पूर्ण वर्ग संख्या होने की,
(iii) 5 से विभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
कुल डिस्क = 90
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
(i) दो अंकीय संख्याएँ = 90 - 9 = 81 (क्योंकि 1 से 9 तक एक अंकीय हैं)
∴ P(दो अंकीय संख्या) = 81/90 = 9/10 = 0.9
(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ⇒ कुल = 9
∴ P(पूर्ण वर्ग संख्या) = 9/90 = 1/10 = 0.1
(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ = 5, 10, 15, ..., 90 ⇒ कुल = 90 ÷ 5 = 18
∴ P(5 से विभाज्य संख्या) = 18/90 = 1/5 = 0.2
प्र.19: एक बच्चे के पास एक पासा है जिसके छह फलक नीचे दिए गए अक्षरों को दर्शाते हैं:
N, C, E, R, T, A
पासा एक बार फेंका जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) A प्राप्त होने की
(ii) D प्राप्त होने की
उत्तर:
संभावित परिणामों की कुल संख्या = 6
P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या
(i) A वाले फलकों की संख्या = 1
∴ P(A) = 1/6 = 0.166
(ii) D वाले फलकों की संख्या = 0
∴ P(D) = 0/6 = 0
प्र.20: मान लीजिए आप एक पासा आयताकार क्षेत्र (3m × 2m) में यादृच्छिक रूप से गिराते हैं। उस पर एक वृत्त बना है जिसका व्यास 1 मीटर है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासा वृत्त के अंदर गिरेगा।
उत्तर:
आयत का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 मीटर ⇒ त्रिज्या r = ½ m
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × (½)² = π/4 ≈ 0.78 m²
P(E) = अनुकूल क्षेत्रफल / कुल क्षेत्रफल = (π/4) / 6 = π/24 ≈ 0.13
प्र.21: एक लॉट में 144 बॉल पेन हैं, जिनमें से 20 खराब हैं और बाकी अच्छे। नूरी केवल अच्छी पेन खरीदेगी। दुकानदार उसे एक पेन यादृच्छिक रूप से देता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) वह उसे खरीदेगी
(ii) वह उसे नहीं खरीदेगी
उत्तर:
कुल पेन = 144
खराब पेन = 20 ⇒ अच्छी पेन = 144 - 20 = 124
(i) P(खरीदेगी) = 124/144 = 31/36 ≈ 0.86
(ii) P(नहीं खरीदेगी) = 20/144 = 5/36 ≈ 0.138
प्र.22: उदाहरण 13 का संदर्भ लें।
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| Sum on 2 dice | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probability | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
(ii) एक विद्यार्थी का तर्क है कि, “संभावित परिणाम 11 हैं: 2 से 12 तक, अतः प्रत्येक का प्रायिकता 1/11 है।” क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? इसे उचित ठहराइए।
उत्तर:
यह तर्क गलत है। जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो कुल 6 × 6 = 36 परिणाम संभव होते हैं।
हालाँकि योगफल (sum) केवल 2 से 12 तक हो सकता है, लेकिन हर योगफल के लिए संभव परिणामों की संख्या अलग-अलग होती है।
उदाहरण के लिए:
- योगफल 7 के लिए 6 संयोजन होते हैं, जैसे (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
- जबकि योगफल 2 या 12 के लिए केवल 1-1 संयोजन होते हैं: (1,1) और (6,6)
इसलिए, सभी योगफलों की प्रायिकता समान नहीं है। अतः यह कहना कि हर योगफल की प्रायिकता 1/11 है, गलत है।
प्र.23: एक खेल में एक रुपये के सिक्के को 3 बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार परिणाम को नोट किया जाता है।
हनीफ जीतता है यदि सभी उछाल एक जैसे परिणाम दें, अर्थात तीनों हेड्स या तीनों टेल्स आएं। अन्यथा, वह हार जाता है। हनीफ के हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
सभी संभावित परिणाम:
HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT
कुल परिणाम = 8
हनीफ तब हारता है जब परिणाम मिश्रित हों (सभी एक जैसे न हों)।
ऐसे परिणाम हैं: HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT ⇒ कुल 6 परिणाम
अतः, P(हनीफ हारेगा) = 6/8 = 3/4 = 0.75
प्र.24: एक पासा दो बार फेंका गया।
(i) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 5 दोनों बार नहीं आएगा।
(ii) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 5 कम-से-कम एक बार आएगा।
हल:
दो पासों को फेंकने के कुल परिणाम = 6 × 6 = 36
(i) 5 दोनों बार नहीं आए:
एक बार पासा फेंकने पर 5 नहीं आने की प्रायिकता = 5/6
दोनों बार 5 नहीं आने की प्रायिकता = (5/6) × (5/6) = 25/36
(ii) 5 कम से कम एक बार आए:
यह पूरक घटना है: = 1 - P(दोनों बार 5 नहीं आए)
= 1 - 25/36 = 11/36
प्र.25: निम्नलिखित कथनों में कौन-सा सही है और कौन-सा गलत है? कारण सहित उत्तर दीजिए:
(i) यदि दो सिक्के एक साथ उछाले जाएं, तो तीन संभावित परिणाम होते हैं – दो हेड्स, दो टेल्स या एक-एक हेड और टेल। अतः प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 है।
उत्तर: यह कथन गलत है।
संभावित परिणाम हैं: (H,H), (H,T), (T,H), (T,T)
अतः दो हेड्स की प्रायिकता = 1/4
एक-एक हेड और टेल की प्रायिकता = 2/4 = 1/2
प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 नहीं है।
(ii) यदि एक पासा फेंका जाए, तो दो संभावित परिणाम होते हैं – विषम संख्या या सम संख्या। अतः विषम संख्या की प्रायिकता 1/2 है।
उत्तर: यह कथन सही है।
संभावित संख्याएं: 1, 2, 3, 4, 5, 6
विषम संख्याएं: 1, 3, 5 ⇒ 3 संख्याएं
सम संख्याएं: 2, 4, 6 ⇒ 3 संख्याएं
∴ P(विषम) = 3/6 = 1/2
