कक्षा 9 : गणित अध्ययन सामग्री

अध्याय 2 - बहुपद (Polynomials)

आधारभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)

1. चर (Variables): वह राशि जो भिन्न-भिन्न मानों को धारण कर सकती है, चर कहलाती है। इसे प्रायः x, y, z, s, t आदि से सूचित किया जाता है।
2. अचर (Constant): वह राशि जो निश्चित हो अर्थात जिसमें परिवर्तन नहीं होता है। जैसे: -2/7, 4, 0, -√3
3. बीजीय पद (Algebraic terms): चर और अचर के गुणनफल को बीजीय पद कहते हैं। जैसे: 4 × x = 4x, 3 × x² = 3x²

4. गुणांक (Coefficient): किसी पद में गुणा करने वाली राशि को पद का गुणांक कहते हैं। (उदा: 4x² में x² का गुणांक = 4).
5. पद का घात (Degree of terms): पद के सभी चरों के घातांकों का योगफल। (उदा: 4x²y का घात = 2+1 = 3).
6. सजातीय पद (Like terms): समान चर वाले पदों को सजातीय पद कहते हैं। जैसे: 4x²y, -7x²y

7. विजातीय पद (Unlike terms): असमान चर वाले पदों को विजातीय पद कहते हैं। जैसे: 4x², 2/5y

बहुपद (Polynomials)

8. बीजीय व्यंजक (Algebraic expression): एक या अधिक बीजीय पदों से बने व्यंजक। (उदा: 3x²y - 7x²y)
9. बहुपद (Polynomials): एक बीजीय व्यंजक जिसमें सम्मिलित चरों की घातें ऋणात्मक या भिन्न (fraction) नहीं होती (घात पूर्ण संख्या होती है), बहुपद कहलाता है।
10. बहुपद का घात (Degree of Polynomial): बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को बहुपद का घात कहते हैं। उदा: 2x³ + 3x² + 7x - 3 में घात = 3.

11. मानक रूप (Standard form): बहुपद के पदों को चर के घातों के आरोही या अवरोही क्रम में सजाने पर प्राप्त रूप।

बहुपदों का वर्गीकरण (Classification)

पदों के अनुसार (By Terms):

  • एकपदी (Monomial): एक पद वाला बहुपद (उदा: 2x³, 7x)
  • द्विपदी (Binomial): दो पदों वाला बहुपद (उदा: 8x³ + 3x)
  • त्रिपदी (Trinomial): तीन पदों वाला बहुपद (उदा: 3x² + 7x - 4)
  • शून्य बहुपद (Zero polynomial): जिसके सभी गुणांक शून्य हों (इसकी घात अपरिभाषित होती है)।

घातों के अनुसार (By Degree):

  • रैखिक (Linear): 1 घात वाला बहुपद (उदा: 7x - 4)
  • द्विघात (Quadratic): 2 घात वाला बहुपद (उदा: 8x² + 3x)
  • त्रिघात (Cubic): 3 घात वाला बहुपद (उदा: x³ + x - 7)

प्रमेय और शून्यक (Theorems and Zeros)

12. बहुपद का मान: चर का कोई विशेष मान रखने पर प्राप्त मान। उदा: P(x) = x² + 2x + 3 में x = 2 रखने पर P(2) = 11.
13. बहुपद के शून्यक (Zeros): चर का वह मान जो बहुपद को शून्य (0) कर दे।
  • रैखिक बहुपद का केवल एक शून्यक होता है।
  • द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक होते हैं।
  • त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शून्यक होते हैं।
14. शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem): यदि बहुपद P(x) को (x - a) से भाग दें, तो शेषफल P(a) प्राप्त होता है।
15. गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem): (x - a), बहुपद P(x) का गुणनखंड होगा, यदि और केवल यदि P(a) = 0 हो।

महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b)(a - b) = a² - b²
  • (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
  • (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
  • (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
  • (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y)
  • x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)