Chapter 01: Measurement अध्याय 01: मापन
Physical Quantities
भौतिक राशियाँ
Quantities whose measurement can be expressed by a number are called physical quantities. For example, length, mass, time, temperature, velocity, force, work, energy, etc. are physical quantities.
ऐसी राशियाँ जिनके मापन को एक संख्या द्वारा प्रकट किया जा सके, भौतिक राशियाँ (physical quantities) कहलाती हैं। उदाहरण के लिए लम्बाई, द्रव्यमान, समय, ताप, वेग, बल, कार्य, ऊर्जा आदि भौतिक राशियाँ हैं।
Physical quantities are of two types:
भौतिक राशियाँ दो प्रकार की होती हैं:
- Fundamental Quantities: Those physical quantities which are completely independent of each other and cannot be derived from other quantities are called fundamental quantities. मूल राशियाँ: ऐसी भौतिक राशियाँ, जो आपस में पूर्णतया स्वतन्त्र होती हैं तथा जिन्हें अन्य राशियों की सहायता से प्राप्त नहीं किया जा सकता, मूल राशियाँ कहलाती हैं।
- Derived Quantities: Those physical quantities which can be derived with the help of fundamental quantities are called derived physical quantities. व्युत्पन्न राशियाँ: वे भौतिक राशियाँ जिन्हें मूल राशियों की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है, व्युत्पन्न भौतिक राशियाँ कहलाती हैं।
Unit
मात्रक
To measure a physical quantity, a definite magnitude of the same kind of quantity is taken as a standard, and this standard is called the unit of that physical quantity. Two things are required to express the measurement of a physical quantity:
किसी भौतिक राशि को मापने के लिए उसी प्रकार की राशि के निश्चित परिमाण को मानक (standard) मान लेते हैं तथा इस मानक को ही उस भौतिक राशि का मात्रक (unit) कहते हैं। किसी भौतिक राशि के मापन को व्यक्त करने के लिए दो बातों की आवश्यकता होती है:
- (i) Name of the unit of the quantity (i) राशि के मात्रक का नाम
- (ii) Numerical value (ii) संख्यात्मक मान
The units of fundamental quantities are called fundamental units and the units of derived quantities are called derived units.
मूल राशि के मात्रकों को मूल मात्रक व व्युत्पन्न राशियों के मात्रकों को व्युत्पन्न मात्रक कहते हैं।
Fundamental Units
मूल मात्रक
All the physical quantities occurring in mechanics can be expressed with the help of units of length, mass, and time. There is no relationship between the units of these three quantities and they are completely independent. These quantities are called fundamental quantities and their units are called fundamental units.
यान्त्रिकी में आने वाली सभी भौतिक राशियों को लम्बाई, द्रव्यमान तथा समय के मात्रकों की सहायता से प्रकट किया जा सकता है। इन तीन राशियों के मात्रकों में परस्पर कोई सम्बन्ध नहीं होता तथा ये पूर्णतः स्वतन्त्र होते हैं। इन राशियों को मूल राशियाँ तथा इनके मात्रकों को मूल मात्रक कहते हैं।
| S.No. क्र.सं. | Fundamental Quantity मूल राशि | Symbol प्रतीक | Fundamental Unit (SI) मूल मात्रक |
|---|---|---|---|
| 1. | Lengthलम्बाई | m | Meterमीटर |
| 2. | Massद्रव्यमान | kg | Kilogramकिग्रा |
| 3. | Timeसमय | s | Secondसेकण्ड |
| 4. | Temperatureताप | K | Kelvinकेल्विन |
| 5. | Electric Currentविद्युत धारा | A | Ampereऐम्पियर |
| 6. | Luminous Intensityज्योति तीव्रता | cd | Candelaकेण्डिला |
| 7. | Amount of Substanceपदार्थ की मात्रा | mol | Moleमोल |
| 8. | Plane Angle (Supplementary)तलीय कोण (पूरक मात्रक) | rad | Radianरेडियन |
| 9. | Solid Angle (Supplementary)घन कोण (पूरक मात्रक) | sr | Steradianस्टेरेडियन |
Derived Units
व्युत्पन्न मात्रक
The units of derived quantities are called derived units. All derived units can be obtained by multiplying or dividing the fundamental units. For example, the unit of velocity is meter/second, the unit of acceleration is meter/second², etc.
व्युत्पन्न राशियों के मात्रकों को व्युत्पन्न मात्रक कहते हैं। सभी व्युत्पन्न मात्रक मूल मात्रकों को गुणा अथवा भाग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। जैसे वेग का मात्रक मीटर/सेकण्ड, त्वरण का मात्रक मीटर/सेकण्ड² आदि है।
Systems of Units
प्रमुख मात्रक पद्धतियाँ
Based on the fundamental units of length, mass, and time in mechanics, the following systems of units are prevalent:
यन्त्रिकी में लम्बाई, द्रव्यमान तथा समय के मूल मात्रकों के आधार पर मात्रकों की निम्नलिखित पद्धतियाँ प्रचलित हैं:
- CGS System: In this system, the unit of length is centimetre, the unit of mass is gram, and the unit of time is second. सी जी एस पद्धति (CGS system): इस पद्धति में लम्बाई का मात्रक सेंटीमीटर, द्रव्यमान का मात्रक ग्राम तथा समय का मात्रक सेकण्ड होता है।
- MKS System: In this system, the unit of length is metre, the unit of mass is kilogram, and the unit of time is second. एम के एस पद्धति (MKS system): इस पद्धति में लम्बाई का मात्रक मीटर, द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम तथा समय का मात्रक सेकण्ड होता है।
- FPS System: In this system, the unit of length is foot, the unit of mass is pound, and the unit of time is second. एफ पी एस पद्धति (FPS system): इस पद्धति में लम्बाई का मात्रक फुट, द्रव्यमान का मात्रक पाउण्ड तथा समय का मात्रक सेकण्ड होता है।
- SI System (International System): For measuring physical quantities in entire physics, the international system is used, which is called the SI system. It was accepted in the 1960 convention. It is an extension of the MKS system and has 7 fundamental and 2 supplementary units. एस आई पद्धति (SI system): सम्पूर्ण भौतिक विज्ञान में आने वाली भौतिक राशियों को मापने के लिए अन्तर्राष्ट्रीय प्रणाली का प्रयोग किया गया है, जिसे मात्रकों की एस आई प्रणाली (SI system) कहते हैं। इसे सन् 1960 में स्वीकार किया गया। यह MKS प्रणाली का ही विस्तार है। इसमें सात मूल मात्रक तथा दो पूरक मूल मात्रक हैं।
Prefixes of Powers of 10
10 की घातों के उपसर्ग
| Prefixउपसर्ग | Symbolप्रतीक | Power of 1010 की घात | Prefixउपसर्ग | Symbolप्रतीक | Power of 1010 की घात |
|---|---|---|---|---|---|
| deciडेसी | d | $10^{-1}$ | decaडेका | da | $10^{1}$ |
| centiसेंटी | c | $10^{-2}$ | hectoहैक्टा | h | $10^{2}$ |
| milliमिली | m | $10^{-3}$ | kiloकिलो | k | $10^{3}$ |
| microमाइक्रो | $\mu$ | $10^{-6}$ | megaमेगा | M | $10^{6}$ |
| nanoनैनो | n | $10^{-9}$ | gigaगीगा | G | $10^{9}$ |
| picoपिको | p | $10^{-12}$ | teraटेरा | T | $10^{12}$ |
| femtoफैम्टो | f | $10^{-15}$ | petaपीटा | P | $10^{15}$ |
| attoएटो | a | $10^{-18}$ | exaएक्सा | E | $10^{18}$ |
Dimensions of Physical Quantities
भौतिक राशि की विमाएँ
The dimensions of a physical quantity are the powers to which the fundamental units are raised to express the unit of that quantity. The formula obtained by writing the unit of a physical quantity in terms of Mass $M$, Length $L$, Time $T$, Temperature $\theta$, and Current $A$ is called the Dimensional Formula.
किसी भौतिक राशि की विमाएँ वे घात होती हैं, जिन्हें उस राशि के मात्रक को व्यक्त करने के लिए मूल मात्रकों पर चढ़ाते हैं। किसी भौतिक राशि के मात्रक को द्रव्यमान $M$, लम्बाई $L$, समय $T$, ताप $\theta$ व विद्युत धारा $A$ के पदों में लिखने पर प्राप्त सूत्र को भौतिक राशि का विमीय सूत्र कहते हैं।
Dimensional Formulas of Some Physical Quantities
कुछ भौतिक राशियों के विमीय सूत्र
| Quantityभौतिक राशि | Formula/Relationअन्य राशियों से सम्बन्ध | Dimensional Formulaविमीय सूत्र | SI UnitSI मात्रक |
|---|---|---|---|
| Length / Distance / Displ.लम्बाई / दूरी / विस्थापन | - | $[M^0 L T^0]$ | meterमीटर |
| Areaक्षेत्रफल | Length $\times$ Widthलम्बाई $\times$ चौड़ाई | $[M^0 L^2 T^0]$ | meter²मीटर$^2$ |
| Volumeआयतन | L $\times$ W $\times$ Hलम्बाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई | $[M^0 L^3 T^0]$ | meter³मीटर$^3$ |
| Massद्रव्यमान | - | $[M L^0 T^0]$ | kgकिग्रा |
| Timeसमय | - | $[M^0 L^0 T]$ | secondसेकण्ड |
| Densityघनत्व | Mass / Volumeद्रव्यमान / आयतन | $[M L^{-3} T^0]$ | kg/m³किग्रा-मी$^{-3}$ |
| Specific Gravityविशिष्ट घनत्व | Density of object / Density of water at 4°Cवस्तु का घनत्व / 4°C पर जल का घनत्व | $[M^0 L^0 T^0]$ | Dimensionlessविमाहीन |
| Speed / Velocityचाल / वेग | Distance / Timeदूरी (विस्थापन) / समय | $[M^0 L T^{-1}]$ | m/sमीटर-सेकण्ड$^{-1}$ |
| Velocity Gradientवेग-प्रवणता | Change in velocity / Distanceवेग-परिवर्तन / दूरी | $[M^0 L^0 T^{-1}]$ | s⁻¹सेकण्ड$^{-1}$ |
| Momentum / Impulseसंवेग / आवेग | Mass $\times$ Velocityद्रव्यमान $\times$ वेग | $[M L T^{-1}]$ | kg-m/sकिग्रा-मीटर-सेकण्ड$^{-1}$ |
| Accelerationत्वरण | Change in velocity / Timeवेग-परिवर्तन / समयान्तराल | $[M^0 L T^{-2}]$ | m/s²मीटर-सेकण्ड$^{-2}$ |
| Force / Weight / Tensionबल / भार / तनाव | Mass $\times$ Accelerationद्रव्यमान $\times$ त्वरण | $[M L T^{-2}]$ | Newtonन्यूटन |
| Friction Coefficientघर्षण गुणांक | - | $[M^0 L^0 T^0]$ | Dimensionlessविमाहीन |
| Force Constantबल नियतांक | Force / Extensionबल / खिंचाव | $[M L^0 T^{-2}]$ | kg/s²किग्रा-सेकण्ड$^{-2}$ |
| Work / Energy (KE & PE)कार्य / ऊर्जा | Force $\times$ Distanceबल $\times$ दूरी | $[M L^2 T^{-2}]$ | Jouleजूल |
| Powerक्षमता (शक्ति) | Work / Timeकार्य / समय | $[M L^2 T^{-3}]$ | Wattवाट (किग्रा-मी²-से⁻³) |
| Gravitational Constant ($G$)गुरुत्वाकर्षण नियतांक | $F r^2 / (m_1 m_2)$ | $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ | N-m²/kg²न्यूटन-मी²/किग्रा² |
Applications of Dimensional Analysis
विमीय विश्लेषण के उपयोग
-
Checking the dimensional consistency of an equation: The dimensions of each term in a physical equation must be the same. If not, the equation is incorrect. किसी समीकरण के विमीय सन्तुलन का परीक्षण: भौतिकी में प्रयुक्त होने वाले प्रत्येक समीकरण अथवा सम्बन्ध के प्रत्येक पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए। यदि किसी समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान नहीं हैं, तो वह समीकरण सही नहीं होगी।Example 1: Show that $v = u + at$ is dimensionally balanced. उदाहरण 1: दिखाइए गति की समीकरण $v = u + at$ विमीय रूप में सन्तुलित है।Solution: $v = u + at$
Dimension of LHS = Dimension of Velocity ($v$) = $[L T^{-1}]$
Dimension of $u$ in RHS = $[L T^{-1}]$
Dimension of $at$ in RHS = $[L T^{-2}] \times [T] = [L T^{-1}]$
$\therefore$ Dimensions of all terms on both sides are equal, hence the equation is dimensionally balanced. हल: $v = u + at$
LHS की विमा = ($v$) वेग की विमा = $[L T^{-1}]$
RHS की विमा = ($u$) वेग की विमा = $[L T^{-1}]$
$at$ की विमा = $[L T^{-2}][T] = [L T^{-1}]$
$\therefore$ LHS तथा RHS दोनों ओर की विमाएँ बराबर हैं, अतः दी गई समीकरण विमीय रूप से सन्तुलित है। -
Conversion of units from one system to another: The product of the numerical value and unit of a physical quantity is always a constant. $n_1 u_1 = n_2 u_2$. एक पद्धति के मात्रकों का दूसरी पद्धति के मात्रकों में बदलना: विमीय विश्लेषण की सहायता से हम एक पद्धति के मात्रकों को दूसरी पद्धति के मात्रकों में बदल सकते हैं, क्योंकि भौतिक राशि के आंकिक मान व मात्रक का गुणनफल सदैव नियतांक होता है। $n_1 u_1 = n_2 u_2$.$$n_2 = n_1 \left[ \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^a \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^b \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^c \right]$$Example 2: Density of mercury is 13.6 g/cm³. Find its value in MKS (SI) system. उदाहरण 2: पारे का घनत्व 13.6 ग्राम/सेमी³ है। MKS पद्धति में इसका मान क्या होगा?Solution: Dimensional formula of density = $[M L^{-3}]$.
$n_2 = n_1 \left[\frac{M_1}{M_2}\right]^1 \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^{-3}$
$n_2 = 13.6 \left[\frac{\text{g}}{1000 \text{ g}}\right]^1 \left[\frac{\text{cm}}{100 \text{ cm}}\right]^{-3} = 13.6 \times 10^3$
$\therefore$ Density in MKS = $13.6 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$ हल: घनत्व का विमीय सूत्र = $[M L^{-3}]$ है।
$n_1 [M_1 L_1^{-3}] = n_2 [M_2 L_2^{-3}]$
$n_2 = 13.6 \left[\frac{M_1}{M_2}\right]^1 \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^{-3}$
$= 13.6 \left[\frac{\text{ग्राम}}{1000 \text{ ग्राम}}\right]^1 \left[\frac{\text{सेमी}}{100 \text{ सेमी}}\right]^{-3} = 13.6 \times 10^3$
$\therefore$ पारे का घनत्व = $13.6 \times 10^3 \text{ किग्रा/मी}^3$ -
Deducing relations among physical quantities: We can establish formulas using dimensional analysis. विभिन्न भौतिक राशियों में सम्बन्ध स्थापित करना: विमीय विधि से हम विभिन्न भौतिक राशियों में सम्बन्ध भी स्थापित कर सकते हैं।Example 3: Centripetal force F depends on mass m, velocity v, and radius r. Establish the formula. उदाहरण 3: अभिकेन्द्र बल F, कण के द्रव्यमान m, वृत्त की त्रिज्या r तथा चाल v पर निर्भर करता है। सूत्र स्थापित कीजिये।Solution: Let $F \propto m^a r^b v^c \implies F = K m^a r^b v^c$ ... (i)
Writing dimensions on both sides:
$[M L T^{-2}] = [M]^a [L]^b [L T^{-1}]^c$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^a L^{b+c} T^{-c}]$
Comparing powers: $a = 1$, $b + c = 1$, and $-c = -2 \implies c = 2$.
Solving gives $a = 1, b = -1, c = 2$.
Putting in (i), $F = K m^1 r^{-1} v^2 = \frac{Kmv^2}{r}$ हल: माना $F \propto m^a r^b v^c$ अथवा $F = K m^a r^b v^c$ ... (i)
दोनों ओर की विमाएँ लिखने पर,
$[M L T^{-2}] = [M]^a [L]^b [L T^{-1}]^c$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [M^a L^{b+c} T^{-c}]$
विमाओं की तुलना करने पर,
$a = 1, b + c = 1$ तथा $-c = -2$
हल करने पर, $a = 1, b = -1$ तथा $c = 2$
मानों को समी. (i) में रखने पर, $F = K m r^{-1} v^2 = \frac{Kmv^2}{r}$
Limitations of Dimensional Analysis
विमाओं की रीति की सीमाएँ
- The value of the dimensionless constant involved in the formula cannot be determined. इस विधि से किसी सूत्र में उपस्थित विमाहीन नियतांक (constant) का मान ज्ञात नहीं कर सकते।
- If a physical quantity depends on more than three quantities, this method cannot establish a relation among them. जब कोई भौतिक राशि तीन से अधिक राशियों पर निर्भर करती है, तो उनके बीच इस विधि से सम्बन्ध स्थापित नहीं किया जा सकता, क्योंकि केवल तीन समीकरणें ही बनती हैं।
- Equations containing trigonometric ($\sin \theta, \cos \theta$), exponential ($e^x$), and logarithmic ($\log x$) terms cannot be analyzed using this method. इस विधि द्वारा त्रिकोणमितीय ($\sin \theta, \cos \theta \dots$), चरघातांकीय (exponential) तथा $\log x$ आदि पद वाले समीकरणों का विश्लेषण नहीं किया जा सकता।
