अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles) 📘

📋 Table of Contents

परिचय ✍️

  • त्रिभुज वह बहुभुज होता है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। जब दो त्रिभुज एक ही आकृति के हों लेकिन उनके आकार में अंतर हो, तो उन्हें समान त्रिभुज (Similar Triangles) कहा जाता है।

    • 🔁 समान आकृतियाँ (Similar Figures)

    दो आकृतियाँ समान होती हैं यदि:

      उनके सभी कोण आपस में समान हों।

      उनके संगत भुजाओं का अनुपात समान हो।

    🔺 समान त्रिभुज (Similar Triangles)

    दो त्रिभुज समान होते हैं, यदि:

      उनके संगत कोण समान होते हैं।

      उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।

    📏 समानता की शर्तें (Criteria of Similarity)

    1. AAA (Angle-Angle-Angle): त्रिभुजों के तीन कोण आपस में समान हों।

    2. SAS (Side-Angle-Side): दो भुजाओं का अनुपात समान हो और उनके बीच का कोण भी समान हो।

    SSS (Side-Side-Side): तीनों भुजाओं का अनुपात समान हो।

📚 प्रमेय (Theorems)

🧮 प्रमेय 6.1: मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem - BPT)

    यदि किसी त्रिभुज की किसी भुजा पर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि वह उन पर समानुपाती विभाजन करती है, तो वह रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होती है।

🧮 प्रमेय 6.2: BPT का व्युत्क्रम

    यदि त्रिभुज की किसी भुजा पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार चुने जाएँ कि वे दूसरी और तीसरी भुजा को समानुपाती विभाजित करें, तो वे बिंदु त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होंगे।

✨ महत्वपूर्ण परिणाम

1. यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो उनके संगत भुजाओं का अनुपात उनके संगत ऊँचाइयों, माध्यिकाओं और कोण द्विभाजकों के अनुपात के बराबर होता है।

2. दो समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।

✅ Check Your Understanding:

1. प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की किसी भुजा पर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि वह उन पर समानुपाती विभाजन करती है, तो वह रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होती है।

2. ΔABC में DE ∥ BC है और D ∈ AB, E ∈ AC हैं। सिद्ध कीजिए कि AD / DB = AE / EC

3. एक समकोण त्रिभुज में एक भुजा 5 cm और दूसरी भुजा 12 cm है। कर्ण ज्ञात करें।