अध्याय: सांख्यिकी (Statistics)
1. परिभाषा (Definition)
सांख्यिकी वह गणितीय शाखा है जो आँकड़ों (data) के संग्रह, संगठन, विश्लेषण और व्याख्या से संबंधित है।
इस अध्याय में हम मुख्यतः सांख्यिकीय मापों को पढ़ेंगे:
- माध्य (Mean)
- माध्यिका (Median)
- बहुलक (Mode)
2. महत्त्वपूर्ण शब्दावली (Important Terminology)
| शब्द | अर्थ |
|---|---|
| आवृत्ति (Frequency) | किसी विशेष मान के प्रकट होने की संख्या |
| वर्ग अंतराल (Class Interval) | डेटा के दो सीमाओं के बीच का अंतराल |
| संग्रहीत आंकड़े (Grouped Data) | जब आँकड़ों को वर्गों में बाँटा गया हो |
3. माध्य (Mean)
(A) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):
सूत्र:
𝑥̄ = (Σfₓᵢ) / (Σf)
(B) अनुमानित माध्य विधि (Assumed Mean Method):
𝑥̄ = A + (Σfᵢdᵢ) / (Σfᵢ), जहाँ dᵢ = xᵢ - A
(C) चरणबद्ध विधि (Step Deviation Method):
𝑥̄ = A + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h, जहाँ uᵢ = (xᵢ - A) / h
4. माध्यिका (Median)
सूत्र:
Median = l + [(N/2 - F) / f] × h
- l = माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा
- N = कुल आवृत्तियों का योग
- F = पूर्व आवृत्तियों का योग
- f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
- h = वर्ग की चौड़ाई
5. बहुलक (Mode)
सूत्र:
Mode = l + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h
- l = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
- f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
- f₀ = इससे पहले की आवृत्ति
- f₂ = इसके बाद की आवृत्ति
- h = वर्ग की चौड़ाई
6. हल किया गया उदाहरण (Solved Example)
उदाहरण: नीचे दी गई तालिका के लिए माध्य ज्ञात कीजिए:
| वर्ग (x) | आवृत्ति (f) |
|---|---|
| 0–10 | 5 |
| 10–20 | 8 |
| 20–30 | 15 |
| 30–40 | 16 |
| 40–50 | 6 |
माध्य = Σfx / Σf विधि से प्राप्त करें
7. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
-
दिए गए वर्गों के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात करें:
वर्ग आवृत्ति 0–20 7 20–40 10 40–60 15 60–80 8 -
नीचे दिए गए अंकों से माध्य और माध्यिका ज्ञात करें:
अंक छात्रों की संख्या 0–10 2 10–20 5 20–30 8 30–40 15 40–50 10
8. बोर्ड परीक्षा टिप्स
- सभी सूत्रों को याद रखें और सही जगह उपयोग करें
- वर्ग की चौड़ाई (h) एक समान होनी चाहिए
- माध्यिका और बहुलक वर्ग को सही तरीके से पहचानें
- Step-Deviation तब प्रयोग करें जब संख्याएँ बड़ी हों
