📘 द्विघात समीकरण - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
LHS = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
RHS = 2(x – 3) = 2x – 6
LHS – RHS = x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = x2 + 7
यह द्विघात समीकरण है क्योंकि यह x2 पर निर्भर करता है।
(ii) x2 – 2x = – (2)(3 – x)
RHS = – (2)(3 – x) = – (6 – 2x) = –6 + 2x
LHS – RHS = x2 – 2x + 6 – 2x = x2 – 4x + 6
यह द्विघात समीकरण है।
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
LHS = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2
RHS = x2 + 3x – x – 3 = x2 + 2x – 3
LHS – RHS = –x – 2 – 2x + 3 = –3x + 1
यह रैखिक समीकरण है, द्विघात नहीं।
(iv) (x – 3)(2x + 1) = (x + 5)(x – 1)
LHS = 2x2 + x – 6x – 3 = 2x2 – 5x – 3
RHS = x2 – x + 5x – 5 = x2 + 4x – 5
LHS – RHS = 2x2 – 5x – 3 – x2 – 4x + 5 = x2 – 9x + 2
यह द्विघात समीकरण है।
(v) (2x – 1)(x + 2) = (x + 5)(x – 1)
LHS = 2x2 + 4x – x – 2 = 2x2 + 3x – 2
RHS = x2 – x + 5x – 5 = x2 + 4x – 5
LHS – RHS = x2 – x + 3 = x2 – x + 3
यह द्विघात समीकरण है।
(vi) (x + 2)2 = 2x(x – 1)
LHS = x2 + 4x + 4
RHS = 2x2 – 2x
LHS – RHS = – x2 + 6x + 4
यह द्विघात समीकरण है।
(vii) x2 + 3x + 1 = (x – 2)(x – 1)
RHS = x2 – 3x + 2
LHS – RHS = 6x – 1
यह रैखिक समीकरण है।
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
RHS = x3 – 6x2 + 12x – 8
LHS – RHS = 2x2 – 13x + 9
यह द्विघात समीकरण है।
प्र.2: निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
हल: मान लीजिए चौड़ाई = x मीटर
तब लंबाई = 2x + 1 मीटर
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = (2x + 1)(x) = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
⇒ उत्तर: यह समीकरण है: 2x² + x – 528 = 0
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
हल: मान लीजिए पहला धनात्मक पूर्णांक = x
तो दूसरा पूर्णांक = x + 1
गुणनफल = x(x + 1) = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
⇒ उत्तर: यह समीकरण है: x² + x – 306 = 0
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
हल: मान लीजिए रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो उसकी माँ की आयु = x + 26 वर्ष
3 वर्ष पश्चात्: रोहन = x + 3, माँ = x + 29
गुणनफल = (x + 3)(x + 29) = 360
⇒ x² + 32x + 87 = 360 ⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ उत्तर: यह समीकरण है: x² + 32x – 273 = 0
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल: मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल = x km/h
समय = दूरी / चाल = 480 / x
नई चाल = x – 8, नया समय = 480 / (x – 8)
अंतर = 3 घंटे
⇒ 480 / (x – 8) – 480 / x = 3
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
⇒ 480[(x – x + 8)] / [x(x – 8)] = 3
⇒ 480×8 = 3x(x – 8)
⇒ 3840 = 3x² – 24x ⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
⇒ उत्तर: यह समीकरण है: x² – 8x – 1280 = 0
प्र.1: गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x² – 3x – 10 = 0
हल: x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x + 2)(x – 5) = 0
⇒ उत्तर: x = –2, 5
(ii) 2x² + x – 6 = 0
हल: 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (2x – 3)(x + 2) = 0
⇒ उत्तर: x = 3/2, –2
(iii) √2 x² + 7x + 5√2 = 0
हल: √2 x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (x + √2)(√2x + 5) = 0
⇒ उत्तर: x = –√2, –5/√2
(iv) 2x² – x + 1/8 = 0
हल: सभी पदों को 8 से गुणा करें:
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0
⇒ उत्तर: x = 1/4 (दोहराया हुआ मूल)
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल: 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) –1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)(10x – 1) = 0
⇒ उत्तर: x = 1/10 (दोहराया हुआ मूल)
प्र.3: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल: मान लीजिए दो संख्याएँ x और (27 – x) हैं।
गुणनफल = x(27 – x) = 182
⇒ 27x – x² = 182
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x(x – 13) –14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13)(x – 14) = 0
⇒ उत्तर: x = 13 या 14
अतः दो संख्याएँ = 13 और 14
प्र.4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल: मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं: x और x + 1
उनके वर्गों का योग = x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365
⇒ 2x² + 2x + 1 = 365
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² – 13x + 14x – 182 = 0
⇒ x(x – 13) + 14(x – 13) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ उत्तर: x = 13 या –14
धनात्मक पूर्णांक होने से x = 13
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं: 13 और 14
प्र.5: एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके अधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए त्रिभुज का अधार = x cm
तो ऊँचाई = x – 7 cm
कर्ण = 13 cm (समकोण त्रिभुज में कर्ण, अधार और ऊँचाई से पायथागोरस प्रमेय से जुड़ा होता है)
⇒ (कर्ण)² = (अधार)² + (ऊँचाई)²
⇒ 13² = x² + (x – 7)²
⇒ 169 = x² + x² – 14x + 49
⇒ 169 = 2x² – 14x + 49
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x + 5)(x – 12) = 0
⇒ उत्तर: x = 12 या –5
धनात्मक लंबाई होने से x = 12
अधार = 12 cm, ऊँचाई = 12 – 7 = 5 cm
प्र.6: एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
तो प्रत्येक नग की लागत = 2x + 3 ₹
कुल लागत = संख्या × प्रति नग लागत = x(2x + 3) = ₹90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ 3x(5x + 6) –15(5x + 6) = 0
⇒ (2x – 10)(x + 9) = 0
⇒ उत्तर: x = 5 या x = –9
संख्या धनात्मक होगी, इसलिए x = 5
प्रति नग लागत = 2×5 + 3 = ₹13
⇒ उत्तर: निर्मित बर्तनों की संख्या = 5, प्रति नग लागत = ₹13
प्र.1: निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए; यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
हल: a = 2, b = –3, c = 5
D = b² – 4ac = (–3)² – 4×2×5 = 9 – 40 = –31
D < 0 ⇒ मूल अवास्तविक और असमान
(ii) 3x² – 4√3 x + 4 = 0
हल: a = 3, b = –4√3, c = 4
D = b² – 4ac = (–4√3)² – 4×3×4 = 48 – 48 = 0
D = 0 ⇒ मूल वास्तविक और समान
x = –b / 2a = 4√3 / (2×3) = 2√3 / 3
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल: a = 2, b = –6, c = 3
D = (–6)² – 4×2×3 = 36 – 24 = 12 > 0
D > 0 ⇒ मूल वास्तविक और असमान
x = [-b ± √D]/2a = [6 ± √12]/4 = [6 ± 2√3]/4 = 3 ± √3 / 2
प्र.2: निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
हल: बराबर मूलों के लिए विभेदक (D) = 0
D = b² – 4ac = k² – 4×2×3 = k² – 24
⇒ k² – 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±√24 = ±2√6
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल: समीकरण: kx² – 2kx + 6 = 0
a = k, b = –2k, c = 6
बराबर मूलों के लिए D = b² – 4ac = 0
⇒ (–2k)² – 4×k×6 = 0 ⇒ 4k² – 24k = 0
⇒ 4k(k – 6) = 0
⇒ k = 0 या k = 6
नोट: k = 0 रखने पर यह द्विघात समीकरण नहीं रहेगा।
⇒ उत्तर: k = 6
प्र.3: क्या ऐसी आयत की बग़िया बनाना संभव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दोगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि हाँ, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए चौड़ाई = x मीटर
⇒ लम्बाई = 2x मीटर
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 2x × x = 2x²
⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400 ⇒ x = √400 = 20
⇒ चौड़ाई = 20 मीटर, लम्बाई = 2×20 = 40 मीटर
⇒ उत्तर: हाँ, संभव है। लम्बाई = 40 मीटर, चौड़ाई = 20 मीटर
प्र.4: क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि हाँ तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए:
"दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।"
हल: मान लीजिए वर्तमान में एक मित्र की आयु = x वर्ष
⇒ दूसरे मित्र की आयु = 20 – x वर्ष
चार वर्ष पूर्व:
पहले मित्र की आयु = x – 4
दूसरे मित्र की आयु = 20 – x – 4 = 16 – x
उनके गुणनफल के अनुसार:
(x – 4)(16 – x) = 48
⇒ 16x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ –x² + 20x – 64 = 48
⇒ –x² + 20x – 112 = 0
⇒ x² – 20x + 112 = 0
इस द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं:
D = b² – 4ac = (–20)² – 4×1×112 = 400 – 448 = –48
चूंकि D < 0 है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं।
⇒ उत्तर: नहीं, यह स्थिति संभव नहीं है।
प्र.5: क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए पार्क की लंबाई = x मीटर
⇒ चौड़ाई = y मीटर
परिमाप = 2(x + y) = 80 ⇒ x + y = 40 … (1)
क्षेत्रफल = x × y = 400 … (2)
(1) से: y = 40 – x
इसे (2) में रखें: x(40 – x) = 400
⇒ 40x – x² = 400 ⇒ x² – 40x + 400 = 0
इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
D = (–40)² – 4×1×400 = 1600 – 1600 = 0
⇒ x = 40 / 2 = 20
⇒ y = 40 – 20 = 20
⇒ उत्तर: हाँ, यह संभव है। लंबाई = 20 मीटर, चौड़ाई = 20 मीटर
