📘 दो चार वाले रैखिक समीकरण युग्म - अभ्यास प्रश्न
ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅
प्र.1: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए:
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना, लड़कों की संख्या = x
लड़कियों की संख्या = y
प्रतियोगिता में कुल विद्यार्थी = 10
इसलिए, x + y = 10 ---- (1)
लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक है:
y = x + 4 ---- (2)
समीकरण (2) को (1) में रखें:
x + (x + 4) = 10
2x + 4 = 10
2x = 6 ⇒ x = 3
अब, y = x + 4 = 3 + 4 = 7
अतः, लड़कों की संख्या = 3 और लड़कियों की संख्या = 7 है।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना, एक पेंसिल का मूल्य = ₹x
एक कलम का मूल्य = ₹y
पहला समीकरण:
5x + 7y = 50 ---- (1)
दूसरा समीकरण:
7x + 5y = 46 ---- (2)
समीकरण (1) को 7 से गुणा करें और (2) को 5 से गुणा करें:
35x + 49y = 350
35x + 25y = 230
पहले से दूसरे को घटाएं:
(35x + 49y) - (35x + 25y) = 350 - 230
24y = 120 ⇒ y = 5
अब (1) में y = 5 रखें:
5x + 7(5) = 50
5x + 35 = 50 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
अतः, एक पेंसिल की कीमत ₹3 है और एक कलम की कीमत ₹5 है।
प्र.2: अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिछेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
उत्तर:
प्रथम समीकरण: a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
द्वितीय समीकरण: a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9
a₁/a₂ = 5/7, b₁/b₂ = -4/6 = -2/3, c₁/c₂ = 8/(-9)
∵ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
⇒ रेखाएँ **एक बिंदु पर प्रतिछेद** करती हैं ✅
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
उत्तर:
प्रथम समीकरण: a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
द्वितीय समीकरण: a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24
a₁/a₂ = 9/18 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 12/24 = 1/2
∵ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
⇒ रेखाएँ **संपाती (Coincident)** हैं ✅
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
उत्तर:
प्रथम समीकरण: a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
द्वितीय समीकरण: a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9
a₁/a₂ = 6/2 = 3
b₁/b₂ = -3/(-1) = 3
c₁/c₂ = 10/9
∵ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
⇒ रेखाएँ **समांतर (Parallel)** हैं ✅
प्र.3: अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) 3x + 2y = 5 ; 2x – 3y = 7
a₁/a₂ = 3/2,
b₁/b₂ = 2/–3
⇒ नहीं बराबर ⇒ एक बिंदु पर प्रतिछेद (संगत)
(ii) 2x – 3y = 8 ; 4x – 6y = 9
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2,
b₁/b₂ = –3/–6 = 1/2,
c₁/c₂ = 8/9
⇒ बराबर नहीं ⇒ समांतर रेखाएँ (असंगत)
(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7 ; 9x – 10y = 14
a₁/a₂ = 3/2 ÷ 9 = (3/2)/9 = 1/6,
b₁/b₂ = 5/3 ÷ (–10) = –1/6
⇒ नहीं बराबर ⇒ एक बिंदु पर प्रतिछेद (संगत)
(iv) 5x – 3y = 11 ; –10x + 6y = –22
a₁/a₂ = 5/(–10) = –1/2,
b₁/b₂ = –3/6 = –1/2,
c₁/c₂ = 11/(–22) = –1/2
⇒ तीनों बराबर ⇒ संपाती रेखाएँ (संगत)
(v) (4/3)x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
a₁/a₂ = (4/3)/2 = 2/3,
b₁/b₂ = 2/3
⇒ बराबर, लेकिन c₁/c₂ = 8/12 = 2/3 ⇒ संपाती रेखाएँ (संगत)
प्र.4: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफिक विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
हल: दोनों समीकरणों को देखें:
दूसरा समीकरण पहले का 2 गुना है ⇒ ये दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
⇒ प्रकार: संगत (संपाती रेखाएँ)
⇒ हल: अनंत हल
(ii) x – y = 8 ; 3x – 3y = 16
हल: दूसरे समीकरण को 3 से भाग देने पर मिलता है:
⇒ x – y = 16/3, जो पहले से अलग है।
a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = –1/–3 = 1/3, लेकिन c₁/c₂ = 8/(16/3) = 1.5 ≠ 1/3
⇒ प्रकार: असंगत (समांतर रेखाएँ)
⇒ हल: कोई हल नहीं
(iii) 2x + y = 6 ; 2x – y = 4
हल: दोनों समीकरण जोड़ते हैं:
(2x + y) + (2x – y) = 6 + 4 ⇒ 4x = 10 ⇒ x = 2.5
अब x = 2.5 को पहले समीकरण में रखें:
⇒ 2(2.5) + y = 6 ⇒ 5 + y = 6 ⇒ y = 1
⇒ प्रकार: संगत (प्रतिछेदी रेखाएँ)
⇒ हल: (2.5, 1)
(iv) 2x – 2y – 2 = 0 ; 4x – 4y – 5 = 0
हल: समीकरणों को देखें:
पहला: 2x – 2y = 2
दूसरा: 4x – 4y = 5
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = –2/–4 = 1/2, लेकिन c₁/c₂ = 2/5 ≠ 1/2
⇒ प्रकार: असंगत (समांतर रेखाएँ)
⇒ हल: कोई हल नहीं
प्र.5: एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना, चौड़ाई = x मीटर
⇒ लंबाई = x + 4 मीटर
अर्धपरिमाप = 36 मीटर
⇒ लंबाई + चौड़ाई = 36
⇒ x + 4 + x = 36
⇒ 2x + 4 = 36
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
⇒ चौड़ाई = 16 मीटर
⇒ लंबाई = 16 + 4 = 20 मीटर
अतः, बाग की लंबाई 20 मीटर और चौड़ाई 16 मीटर है।
प्र.6: एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दिया गया है। दो चरों में एक ऐसा और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा हो:
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों।
उत्तर:
दो रेखाएँ प्रतिच्छेदी तब होती हैं जब उनके गुणांकों का अनुपात इस प्रकार हो:
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
दिया गया समीकरण है: 2x + 3y – 8 = 0
एक दूसरा समीकरण लें: 3x + 2y – 12 = 0
अब देखें:
2/3 ≠ 3/2, अतः दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, दूसरा समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 होगा जो पहली रेखा को प्रतिच्छेद करता है।
(ii) समांतर रेखाएँ हों।
उत्तर:
समांतर रेखाओं के लिए, दोनों समीकरणों के गुणांक का अनुपात समान होना चाहिए, लेकिन स्वतंत्र पद का अनुपात भिन्न होना चाहिए।
⇒ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
दिया गया समीकरण: 2x + 3y – 8 = 0
एक अन्य समीकरण: 4x + 6y – 9 = 0
यह दोनों रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि:
2/4 = 3/6 = 1/2, लेकिन –8/–9 ≠ 1/2
अतः, दूसरा समीकरण 4x + 6y – 9 = 0 होगा।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
उत्तर:
संपाती रेखाओं के लिए, दोनों समीकरणों के सभी गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए।
⇒ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
दिया गया समीकरण: 2x + 3y – 8 = 0
एक अन्य समीकरण: 4x + 6y – 16 = 0
यह दोनों रेखाएँ संपाती हैं क्योंकि:
2/4 = 3/6 = 8/16 = 1/2
अतः, दूसरा समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 होगा।
प्र.7: समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए।
उत्तर:
प्रथम समीकरण: x – y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
द्वितीय समीकरण: 3x + 2y – 12 = 0
⇒ 2y = –3x + 12 ⇒ y = –1.5x + 6
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, दोनों समीकरणों को हल करें:
x – y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1
3x + 2y – 12 = 0
y = x + 1 को दूसरे समीकरण में रखें:
3x + 2(x + 1) – 12 = 0 ⇒ 3x + 2x + 2 – 12 = 0 ⇒ 5x – 10 = 0 ⇒ x = 2
⇒ y = 2 + 1 = 3
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु: (2, 3)
अब, x-अक्ष पर इन रेखाओं के अवरोध बिंदु ज्ञात करें:
1) x – y + 1 = 0 पर y = 0 रखें:
⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = –1 ⇒ बिंदु: (–1, 0)
2) 3x + 2y – 12 = 0 पर y = 0 रखें:
⇒ 3x – 12 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ बिंदु: (4, 0)
अतः, त्रिभुज के शीर्ष हैं: (–1, 0), (4, 0), (2, 3)
इन बिंदुओं को मिलाकर त्रिभुज बनाएं और उसे छायांकित करें।
प्र.1: निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
(i) x + y = 14
x – y = 4
हल: पहले समीकरण से x = 14 – y
अब इसे दूसरे समीकरण में रखें:
(14 – y) – y = 4 ⇒ 14 – 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5
फिर, x = 14 – 5 = 9
उत्तर: x = 9, y = 5
(ii) s – t = 3
s/3 + t/2 = 6
हल: पहले समीकरण से s = t + 3
अब इसे दूसरे समीकरण में रखें:
(t + 3)/3 + t/2 = 6
⇒ (2(t + 3) + 3t)/6 = 6 ⇒ (2t + 6 + 3t)/6 = 6
⇒ 5t + 6 = 36 ⇒ t = 6, ⇒ s = 6 + 3 = 9
उत्तर: s = 9, t = 6
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
हल: पहले समीकरण से y = 3x – 3
अब इसे दूसरे में रखें:
9x – 3(3x – 3) = 9 ⇒ 9x – 9x + 9 = 9
यह एक समानता है, अतः अनंत समाधान
उत्तर: अनंत समाधान
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
हल: पहले समीकरण से x = (1.3 – 0.3y)/0.2
अब इसे दूसरे में रखें:
0.4[(1.3 – 0.3y)/0.2] + 0.5y = 2.3
⇒ 2(1.3 – 0.3y) + 0.5y = 2.3 ⇒ 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3
⇒ –0.1y = –0.3 ⇒ y = 3
अब, x = (1.3 – 0.9)/0.2 = 0.4/0.2 = 2
उत्तर: x = 2, y = 3
(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0
हल: पहले समीकरण से x = –(√3y)/√2
दूसरे में रखें:
√3[–(√3y)/√2] – √8y = 0 ⇒ –3y/√2 – √8y = 0
⇒ –(3y + √2·√8y)/√2 = 0 ⇒ –(3y + 4y)/√2 = 0 ⇒ y = 0
अब, x = –(√3·0)/√2 = 0
उत्तर: x = 0, y = 0
(vi) 3x/2 – 5y/2 = –2
x/3 + y/2 = 13/6
हल: पहले समीकरण को सरल करें:
3x – 5y = –4 ...........(1)
दूसरा: 2x + 3y = 13 ...........(2)
पहले से x = (–4 + 5y)/3
दूसरे में रखें:
2[(–4 + 5y)/3] + 3y = 13
⇒ (–8 + 10y)/3 + 3y = 13 ⇒ (–8 + 10y + 9y)/3 = 13
⇒ (–8 + 19y)/3 = 13 ⇒ –8 + 19y = 39 ⇒ y = 47/19 = 2.05 (लगभग)
अब x = (–4 + 5×2.05)/3 ≈ (–4 + 10.25)/3 ≈ 6.25/3 ≈ 2.08
उत्तर: x ≈ 2.08, y ≈ 2.05
प्र.2: 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = –24 को हल कीजिए और इससे 'm' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
प्रश्न में दिए गए समीकरण:
(1) 2x + 3y = 11
(2) 2x – 4y = –24
अब समीकरण (1) में से (2) घटाएँ:
(2x + 3y) – (2x – 4y) = 11 – (–24)
⇒ 2x – 2x + 3y + 4y = 35
⇒ 7y = 35 ⇒ y = 5
अब y = 5 को समीकरण (1) में रखें:
2x + 3×5 = 11 ⇒ 2x + 15 = 11 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
⇒ हल: x = –2, y = 5
अब y = mx + 3 में x = –2, y = 5 रखें:
5 = m(–2) + 3 ⇒ 5 = –2m + 3 ⇒ 2m = –2 ⇒ m = –1
उत्तर: x = –2, y = 5, तथा m = –1
प्र.3: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए, बड़ी संख्या = x, छोटी संख्या = y
तो, x – y = 26 ........(1)
और, x = 3y ........(2)
समीकरण (2) को (1) में रखें:
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
फिर, x = 3 × 13 = 39
उत्तर: बड़ी संख्या = 39, छोटी संख्या = 13
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए, छोटा कोण = x°, बड़ा कोण = x + 18°
चूंकि दोनों कोण संपूरक हैं, अतः x + (x + 18) = 90
⇒ 2x + 18 = 90 ⇒ 2x = 72 ⇒ x = 36
फिर, बड़ा कोण = 36 + 18 = 54
उत्तर: छोटे कोण = 36°, बड़े कोण = 54°
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए, एक बल्ले का मूल्य = ₹x, एक गेंद का मूल्य = ₹y
तो, 7x + 6y = 3800 ........(1)
और, 3x + 5y = 1750 ........(2)
समीकरण (2) से x = (1750 – 5y)/3
इसे (1) में रखें:
7 × [(1750 – 5y)/3] + 6y = 3800
⇒ (12250 – 35y)/3 + 6y = 3800
⇒ (12250 – 35y + 18y)/3 = 3800
⇒ (12250 – 17y)/3 = 3800
⇒ 12250 – 17y = 11400 ⇒ 17y = 850 ⇒ y = 50
फिर, x = (1750 – 5×50)/3 = (1750 – 250)/3 = 1500/3 = 500
उत्तर: एक बल्ले का मूल्य = ₹500, एक गेंद का मूल्य = ₹50
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
हल: मान लीजिए, नियत भाड़ा = ₹x, प्रति km भाड़ा = ₹y
तो, x + 10y = 105 ........(1)
और, x + 15y = 155 ........(2)
समीकरण (1) को (2) से घटाएँ:
(x + 15y) – (x + 10y) = 155 – 105 ⇒ 5y = 50 ⇒ y = 10
फिर, x = 105 – 10×10 = 105 – 100 = 5
अब, 25 km के लिए भाड़ा = x + 25y = 5 + 250 = ₹255
उत्तर: नियत भाड़ा = ₹5, प्रति km भाड़ा = ₹10, 25 km के लिए भाड़ा = ₹255
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 2 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए, भिन्न = x/y
तो, (x + 2)/(y + 2) = 9 ........(1)
और, (x + 3)/(y + 3) = 2 ........(2)
समीकरण (1) से: x + 2 = 9(y + 2) ⇒ x = 9y + 18 – 2 = 9y + 16 ........(3)
समीकरण (2) से: x + 3 = 2(y + 3) ⇒ x = 2y + 6 – 3 = 2y + 3 ........(4)
अब, (3) और (4) को बराबर रखें:
9y + 16 = 2y + 3 ⇒ 7y = –13 ⇒ y = –13/7
फिर, x = 2×(–13/7) + 3 = (–26/7) + 3 = (–26 + 21)/7 = –5/7
उत्तर: भिन्न = x/y = (–5/7)/(–13/7) = 5/13
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल: मान लीजिए, वर्तमान में जैकब की आयु = x वर्ष, पुत्र की आयु = y वर्ष
तो, 5 वर्ष बाद: x + 5 = 3(y + 5) ........(1)
5 वर्ष पूर्व: x – 5 = 7(y – 5) ........(2)
समीकरण (1): x + 5 = 3y + 15 ⇒ x = 3y + 10 ........(3)
समीकरण (2): x – 5 = 7y – 35 ⇒ x = 7y – 30 ........(4)
अब, (3) और (4) को बराबर रखें:
3y + 10 = 7y – 30 ⇒ 4y = 40 ⇒ y = 10
फिर, x = 3×10 + 10 = 40
उत्तर: जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष, पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष
प्र.1: निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 ........(1), 2x – 3y = 4 ........(2)
प्रतिस्थापन विधि से: समीकरण (1) से y = 5 – x
इसे (2) में रखें: 2x – 3(5 – x) = 4 ⇒ 2x – 15 + 3x = 4 ⇒ 5x = 19 ⇒ x = 19/5
फिर, y = 5 – 19/5 = (25 – 19)/5 = 6/5
उत्तर: x = 19/5, y = 6/5
उपयुक्त विधि: प्रतिस्थापन (क्योंकि एक समीकरण पहले से हल किया हुआ है)
(ii) 3x + 4y = 10 ........(1), 2x – 2y = 2 ........(2)
विलोपन विधि से: (1) को 1 से, (2) को 2 से गुणा करें:
⇒ 3x + 4y = 10 ........(1)
⇒ 4x – 4y = 4 ........(2×2)
अब जोड़ें: (3x + 4x) + (4y – 4y) = 10 + 4 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2
फिर, 2x – 2y = 2 ⇒ 4 – 2y = 2 ⇒ y = 1
उत्तर: x = 2, y = 1
उपयुक्त विधि: विलोपन (क्योंकि गुणांक सरल हैं)
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ........(1)
9x = 2y + 7 ⇒ 9x – 2y = 7 ........(2)
विलोपन विधि से: (1) को 3 से गुणा करें:
⇒ 9x – 15y = 12 ........(3)
अब (3) और (2) को घटाएँ:
9x – 15y = 12
9x – 2y = 7
घटाने पर: –13y = 5 ⇒ y = –5/13
फिर, 3x – 5(–5/13) = 4 ⇒ 3x + 25/13 = 4 ⇒ 3x = (52 – 25)/13 = 27/13 ⇒ x = 9/13
उत्तर: x = 9/13, y = –5/13
उपयुक्त विधि: विलोपन (क्योंकि x के गुणांक 9x दोनों में हैं)
(iv) x/2 + 2y/3 = –1 ........(1)
x – y/3 = 3 ........(2)
विलोपन विधि से: पहले भिन्न हटाने के लिए समीकरणों को गुणा करें:
(1) को 6 से गुणा करें:
⇒ 6×(x/2 + 2y/3) = 6×(–1)
⇒ 3x + 4y = –6 ........(3)
(2) को 3 से गुणा करें:
⇒ 3×(x – y/3) = 3×3
⇒ 3x – y = 9 ........(4)
अब (4) को (3) से घटाएँ:
3x + 4y = –6
3x – y = 9
घटाने पर: (3x + 4y) – (3x – y) = –6 – 9 ⇒ 5y = –15 ⇒ y = –3
अब y = –3 को समीकरण (4) में रखें:
3x – (–3) = 9 ⇒ 3x + 3 = 9 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
उत्तर: x = 2, y = –3
उपयुक्त विधि: विलोपन (क्योंकि भिन्न हटाकर आसानी से हल किया जा सकता है)
प्र.2: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो वह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
हल: मान लीजिए भिन्न = x/y
पहला कथन: (x + 1)/(y - 1) = 1 ⇒ x + 1 = y - 1 ⇒ x - y = -2 ... (1)
दूसरा कथन: x/(y + 1) = 1/2 ⇒ 2x = y + 1 ⇒ 2x - y = 1 ... (2)
अब समीकरण (1) और (2) को विलोपन विधि से हल करते हैं:
(1) x - y = -2
(2) 2x - y = 1
(2) - (1): (2x - y) - (x - y) = 1 - (-2)
⇒ x = 3
x = 3 को (1) में रखें: 3 - y = -2 ⇒ y = 5
⇒ उत्तर: भिन्न है 3/5
(ii) पाँच वर्ष पूर्व मूरी की आयु सोमा की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, मूरी की आयु सोमा की आयु की दो गुनी हो जाएगी। वर्तमान में उनकी आयु कितनी है?
हल: मान लीजिए वर्तमान में मूरी की आयु = x वर्ष, सोमा की आयु = y वर्ष
पहला कथन: x - 5 = 3(y - 5) ⇒ x - 5 = 3y - 15 ⇒ x - 3y = -10 ... (1)
दूसरा कथन: x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x + 10 = 2y + 20 ⇒ x - 2y = 10 ... (2)
अब (1) और (2) को हल करते हैं:
(2) - (1): (x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10) ⇒ y = 20
y = 20 को (1) में रखें: x - 3(20) = -10 ⇒ x = 50
⇒ उत्तर: मूरी की आयु = 50 वर्ष, सोमा की आयु = 20 वर्ष
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि अंकों के स्थान आपस में बदल दिए जाएँ, तो संख्या में 27 की वृद्धि हो जाती है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए इकाई अंक = x, दहाई अंक = y
संख्या = 10y + x, अंकों की जगह बदलने पर = 10x + y
पहला कथन: x + y = 9 ... (1)
दूसरा: 10x + y = 10y + x + 27 ⇒ 9x - 9y = 27 ⇒ x - y = 3 ... (2)
(1) और (2) को हल करें:
(1) x + y = 9
(2) x - y = 3
दोनों को जोड़ें: 2x = 12 ⇒ x = 6
x = 6 को (1) में रखें: 6 + y = 9 ⇒ y = 3
⇒ उत्तर: संख्या = 10×3 + 6 = 36
(iv) मीना ₹2000 निकालती है, जो ₹50 और ₹100 के नोटों के रूप में है। यदि ₹50 के 25 नोट हों, तो ₹100 के कितने नोट हैं?
हल: मान लीजिए ₹100 के नोट = x
₹50 के 25 नोट का मूल्य = 25×50 = ₹1250
कुल राशि = ₹2000 ⇒ 1250 + 100x = 2000 ⇒ 100x = 750 ⇒ x = 7.5
लेकिन x पूर्णांक नहीं है, अतः संभव नहीं कि केवल 25 नोट हों।
नया कथन लें: मान लीजिए ₹50 के x नोट, ₹100 के y नोट
⇒ 50x + 100y = 2000 ⇒ x + 2y = 40 ... (1)
दूसरा कथन: कुल नोटों की संख्या = x + y = 25 ... (2)
(1) - (2): (x + 2y) - (x + y) = 40 - 25 ⇒ y = 15
y = 15 को (2) में रखें: x + 15 = 25 ⇒ x = 10
⇒ उत्तर: ₹50 के नोट = 10, ₹100 के नोट = 15
(v) किराए पर पुस्तक देने वाली किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का नियमित किराया ₹3 प्रति दिन है। इसके बाद प्रति दिन ₹1.50 लिया जाता है। एक व्यक्ति ने पुस्तक के लिए 7 दिन में कुल ₹15 किराया दिया। निर्धारित दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए कुल दिन = x
पहले 3 दिन का किराया = 3×3 = ₹9
बाकी दिन = x - 3 दिन ⇒ 1.5(x - 3) किराया
कुल किराया: 9 + 1.5(x - 3) = 15
9 + 1.5x - 4.5 = 15 ⇒ 1.5x + 4.5 = 15 ⇒ 1.5x = 10.5 ⇒ x = 7
⇒ उत्तर: कुल दिन = 7
