अध्याय 3: दो चरों वाले रेखिक समीकरणों का युग्म 📘

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परिचय ✍️

  • वह समीकरण, जिसको ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है।
  • समीकरण का प्रत्येक हल उसको निरूपित करने वाली रेखा पर एक बिन्दु होता है।
  • दो रैखिक समीकरण उन्हीं दो चरों x और y में हैं। इस प्रकार के समीकरणों कों दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म (या रैखिक समीकरण युग्म) कहते हैं।

एक तल में यदि दो रेखाएँ दी हों, तो निम्न में से केवल एक ही संभावना हो सकती है:

  • दोनों रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं ।
  • दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं यानि समानांतर होती हैं
  • ददोनों रेखाएँ संपाती होती है
अनुपातों की तुलना गणितीय निरूपण स्थिति ग्राफीय निरूपण
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ अद्वितीय हल (एक हल है) संगत प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ ✖️
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ अपरिमित हल (अनेक हल) संगत संपाती रेखाएँ 🔁
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ कोई हल नहीं असंगत समान्तर रेखाएँ ↔️

रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल📈

  • जब हम दो Linear Equations (रैखिक समीकरण) को ग्राफ पर एक साथ प्रस्तुत करते हैं, तो उनके ग्राफिक intersection point (प्रतिच्छेदन बिंदु) से हमें उस युग्म का हल मिल जाता है।
  • यह विधि सबसे आसान और विज़ुअली स्पष्ट तरीका है जिससे x और y के मान ग्राफ के माध्यम से समझ सकते हैं।

🧠 दो रैखिक समीकरणों का सामान्य रूप:

    a₁x + b₁y + c₁ = 0

    a₂x + b₂y + c₂ = 0

    इन दोनों को ग्राफ पर दो अलग-अलग रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।

📐 ग्राफीय विधि के स्टेप्स:

    1. दोनों समीकरणों को y = mx + c के रूप में बदलिए।

    2. प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम 2 या 3 बिंदु निकालिए।

    3. बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर प्लॉट कीजिए।

    4. दोनों रेखाएँ खींचिए।

    5. जिस बिंदु पर दोनों रेखाएँ मिलती हैं, वही उस युग्म का हल होता है।

रैखिक समीकरण युग्म कों हल करने की बीजगणितीय विधि 🧮

बीजगणितीय विधियाँ हमें दो रैखिक समीकरणों के युग्म का हल (x और y का मान) निकालने में सहायता करती हैं।

मुख्य 3 बीजगणितीय विधियाँ हैं:

1️⃣ प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

  • एक समीकरण से x या y का मान निकालो
  • दूसरे समीकरण में substitute करो
  • हल करके दोनों मान निकालो
उदाहरण:
x + y = 5
x - y = 1
➡ x = 5 - y → (5 - y) - y = 1 → y = 2
➡ x = 3 ✅

2️⃣ विलोपन विधि (Elimination Method)

  • गुणा करके किसी चर को समान बनाओ
  • जोड़/घटा कर eliminate करो
  • फिर हल करो
उदाहरण:
2x + 3y = 12
4x - 3y = 6
➡ जोड़ो: 6x = 18 → x = 3
➡ फिर y = 2 ✅