प्रश्न 1:
निम्नलिखित बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
- (2, 3), (4, 1)
- (-5, 7), (-1, 3)
- (a, b), (-a, –b)
समाधान:
हम दूरी की गणना करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे:
दूरी (d) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
(i) बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी:
दूरी d = √[(4 - 2)² + (1 - 3)²]
d = √[(2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2
अतः, (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी = 2√2
(ii) बिंदु (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी:
दूरी d = √[(-1 - (-5))² + (3 - 7)²]
d = √[(4)² + (-4)²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2
अतः, (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी = 4√2
(iii) बिंदु (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी:
दूरी d = √[(-a - a)² + (-b - b)²]
d = √[(-2a)² + (-2b)²] = √[4a² + 4b²] = 2√(a² + b²)
अतः, (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी = 2√(a² + b²)
प्रश्न 2:
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
क्या अब आप दो नगरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं जो खंड 7.2 में चर्चा की गई थी?
समाधान:
हम दूरी की गणना करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे:
दूरी (d) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
बिंदु (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी:
दूरी d = √[(36 - 0)² + (15 - 0)²]
d = √[(36)² + (15)²] = √[1296 + 225] = √1521 = 39
अतः, (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी = 39 यूनिट है।
दो नगरों A और B के बीच की दूरी:
खंड 7.2 में नगर A और B के बिंदु दिए गए थे। यदि हम उन बिंदुओं के लिए भी वही दूरी सूत्र लागू करें, तो हम उनकी दूरी भी ज्ञात कर सकते हैं।
आशा है, इस सूत्र के माध्यम से हम किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी का निर्धारण कर सकते हैं।
प्रश्न 3:
यह निर्धारित कीजिए कि बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) एक ही रेखा पर स्थित हैं या नहीं।
समाधान:
हम यह जांचने के लिए द्विध्रुवीय ढलान (Slope) का उपयोग करेंगे कि क्या ये तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।
यदि इन तीनों बिंदुओं के बीच ढलान समान हो, तो वे एक ही रेखा पर स्थित होंगे।
पहले दो बिंदुओं (1, 5) और (2, 3) के बीच ढलान:
ढलान (m₁) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (3 - 5) / (2 - 1) = -2 / 1 = -2
दूसरे और तीसरे बिंदुओं (2, 3) और (-2, -11) के बीच ढलान:
ढलान (m₂) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-11 - 3) / (-2 - 2) = -14 / -4 = 7/2
अब, इन दोनों ढलानों की तुलना करें:
m₁ = -2 और m₂ = 7/2
चूंकि m₁ ≠ m₂, इसलिए ये बिंदु एक ही रेखा पर स्थित नहीं हैं।
निष्कर्ष:
अतः, बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) कोलिनेअर नहीं हैं।
प्रश्न 4:
जांचिए कि बिंदु (5, –2), (6, 4) और (7, –2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्षक हैं या नहीं।
समाधान:
यह निर्धारित करने के लिए कि त्रिभुज समद्विबाहु है या नहीं, हमें इसके तीनों किनारों की लंबाई की तुलना करनी होगी।
किनारों की लंबाई निकालने के लिए हम दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे:
दूरी (d) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
पहला किनारा (5, -2) और (6, 4) के बीच:
d₁ = √[(6 - 5)² + (4 - (-2))²] = √[(1)² + (6)²] = √[1 + 36] = √37 ≈ 6.08
दूसरा किनारा (6, 4) और (7, -2) के बीच:
d₂ = √[(7 - 6)² + (-2 - 4)²] = √[(1)² + (-6)²] = √[1 + 36] = √37 ≈ 6.08
तीसरा किनारा (7, -2) और (5, -2) के बीच:
d₃ = √[(7 - 5)² + (-2 - (-2))²] = √[(2)² + (0)²] = √4 = 2
निष्कर्ष:
चूंकि पहले दो किनारे (d₁ और d₂) समान लंबाई के हैं, जबकि तीसरा किनारा (d₃) अलग है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है।
प्रश्न 5:
कक्षा में, 4 दोस्त A, B, C और D बिंदुओं पर बैठे हैं जैसा कि चित्र 7.8 में दिखाया गया है। चमपा और चमेली कक्षा में आती हैं और कुछ मिनटों तक ध्यान से देखती हैं। फिर चमपा चमेली से पूछती है, "क्या आपको नहीं लगता कि ABCD एक वर्ग है?" चमेली असहमत होती है। दूरी सूत्र का उपयोग करके बताइए कि कौन सही है।
समाधान:
हम यह देखने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे कि क्या बिंदु A, B, C और D एक वर्ग (square) बनाते हैं।
दूरी सूत्र:
दूरी (d) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
अब, हम चारों किनारों की लंबाई की गणना करेंगे:
पहला किनारा A और B के बीच:
d₁ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]
(यहाँ xA, yA, xB, yB के मान दिए गए हैं, इन्हें चित्र से निकाल सकते हैं)
दूसरा किनारा B और C के बीच:
d₂ = √[(xC - xB)² + (yC - yB)²]
तीसरा किनारा C और D के बीच:
d₃ = √[(xD - xC)² + (yD - yC)²]
चौथा किनारा D और A के बीच:
d₄ = √[(xA - xD)² + (yA - yD)²]
आखिरकार, हम इन चारों किनारों की तुलना करेंगे।
यदि सभी किनारे समान हैं और चारों कोण 90 डिग्री हैं, तो यह एक वर्ग होगा।
निष्कर्ष:
यदि चारों किनारे समान होते हैं, तो चमपा सही है कि ABCD एक वर्ग है। अन्यथा, चमेली सही है कि यह एक वर्ग नहीं है।
प्रश्न 6:
निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनाए गए चतुर्भुज के प्रकार का नाम बताइए, और इसका कारण भी दीजिए:
- (i) (-1, –2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
- (ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, –4)
- (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
समाधान:
हम चारों बिंदुओं के बीच की दूरी निकालकर चतुर्भुज के प्रकार का निर्धारण करेंगे।
(i) बिंदु: (-1, –2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
यह चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए हम पहले किनारों की लंबाई की गणना करेंगे:
पहला किनारा: (-1, -2) और (1, 0) के बीच:
d₁ = √[(1 - (-1))² + (0 - (-2))²] = √[2² + 2²] = √[4 + 4] = √8 ≈ 2.83
दूसरा किनारा: (1, 0) और (-1, 2) के बीच:
d₂ = √[(-1 - 1)² + (2 - 0)²] = √[-2² + 2²] = √[4 + 4] = √8 ≈ 2.83
तीसरा किनारा: (-1, 2) और (-3, 0) के बीच:
d₃ = √[(-3 - (-1))² + (0 - 2)²] = √[-2² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 ≈ 2.83
चौथा किनारा: (-3, 0) और (-1, -2) के बीच:
d₄ = √[(-1 - (-3))² + (-2 - 0)²] = √[2² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 ≈ 2.83
निष्कर्ष:
चूंकि सभी किनारे समान लंबाई के हैं, यह एक **समचतुर्भुज (Rhombus)** होगा।
(ii) बिंदु: (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
आइए अब इस चतुर्भुज के किनारों की लंबाई की गणना करें:
पहला किनारा: (-3, 5) और (3, 1) के बीच:
d₁ = √[(3 - (-3))² + (1 - 5)²] = √[6² + (-4)²] = √[36 + 16] = √52 ≈ 7.21
दूसरा किनारा: (3, 1) और (0, 3) के बीच:
d₂ = √[(0 - 3)² + (3 - 1)²] = √[-3² + 2²] = √[9 + 4] = √13 ≈ 3.61
तीसरा किनारा: (0, 3) और (-1, -4) के बीच:
d₃ = √[(-1 - 0)² + (-4 - 3)²] = √[-1² + (-7)²] = √[1 + 49] = √50 ≈ 7.07
चौथा किनारा: (-1, -4) और (-3, 5) के बीच:
d₄ = √[(-3 - (-1))² + (5 - (-4))²] = √[-2² + 9²] = √[4 + 81] = √85 ≈ 9.22
निष्कर्ष:
चूंकि सभी किनारे समान नहीं हैं और यह एक पार्लललोग्राम नहीं है, इसलिए यह कोई सामान्य चतुर्भुज (irregular quadrilateral) है।
(iii) बिंदु: (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
अब इस चतुर्भुज के किनारों की लंबाई की गणना करें:
पहला किनारा: (4, 5) और (7, 6) के बीच:
d₁ = √[(7 - 4)² + (6 - 5)²] = √[3² + 1²] = √[9 + 1] = √10 ≈ 3.16
दूसरा किनारा: (7, 6) और (4, 3) के बीच:
d₂ = √[(4 - 7)² + (3 - 6)²] = √[-3² + (-3)²] = √[9 + 9] = √18 ≈ 4.24
तीसरा किनारा: (4, 3) और (1, 2) के बीच:
d₃ = √[(1 - 4)² + (2 - 3)²] = √[-3² + (-1)²] = √[9 + 1] = √10 ≈ 3.16
चौथा किनारा: (1, 2) और (4, 5) के बीच:
d₄ = √[(4 - 1)² + (5 - 2)²] = √[3² + 3²] = √[9 + 9] = √18 ≈ 4.24
निष्कर्ष:
चूंकि दो किनारे समान लंबाई के हैं, लेकिन अन्य नहीं हैं, यह एक **आयत (Rectangle)** हो सकता है, लेकिन इसके लिए सभी कोणों का परीक्षण करना होगा।
प्रश्न 7:
किसी बिंदु पर (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर स्थित x-अक्ष पर बिंदु ढूंढिए।
समाधान:
यह प्रश्न हमें यह ढूंढने के लिए है कि **x-अक्ष** पर वह बिंदु क्या होगा जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर है।
समाधान:
हमें दो बिंदुओं (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर स्थित x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) चाहिए।
इसके लिए, हम **दूरी सूत्र** का उपयोग करेंगे। हम जानते हैं कि दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी की गणना निम्नलिखित सूत्र से की जाती है:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
हम x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) को लेकर, पहले बिंदु (2, -5) और (x, 0) के बीच की दूरी और दूसरे बिंदु (-2, 9) और (x, 0) के बीच की दूरी को समान मानेंगे।
पहली दूरी:
दूरी सूत्र के अनुसार, (2, -5) और (x, 0) के बीच की दूरी:
d₁ = √[(x - 2)² + (0 - (-5))²] = √[(x - 2)² + 5²] = √[(x - 2)² + 25]
दूसरी दूरी:
दूरी सूत्र के अनुसार, (-2, 9) और (x, 0) के बीच की दूरी:
d₂ = √[(x - (-2))² + (0 - 9)²] = √[(x + 2)² + 9²] = √[(x + 2)² + 81]
चूंकि दोनों दूरी समान हैं, तो:
√[(x - 2)² + 25] = √[(x + 2)² + 81]
अब दोनों तरफ √ को हटाने के लिए हम **सक्वायर** करेंगे:
(x - 2)² + 25 = (x + 2)² + 81
अब इसे हल करते हैं:
(x² - 4x + 4) + 25 = (x² + 4x + 4) + 81
x² - 4x + 29 = x² + 4x + 85
x² के दोनों पक्षों से हटा देते हैं:
-4x + 29 = 4x + 85
अब x के लिए हल करें:
-4x - 4x = 85 - 29
-8x = 56
x = -7
इसलिए, x-अक्ष पर वह बिंदु जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर है, वह बिंदु है **(-7, 0)**।
निष्कर्ष:
समाधान: **(-7, 0)**
प्रश्न 8:
y का मान निकालिए, यदि P (2, – 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।
समाधान:
हमें यह पता करना है कि P (2, -3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है, तो y का मान क्या होगा।
दूरी सूत्र:
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी की गणना इस सूत्र से की जाती है:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
यहां, P (2, -3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई दी गई है।
दूरी सूत्र के अनुसार:
10 = √[(10 - 2)² + (y - (-3))²]
अब, इसे हल करते हैं:
10 = √[(8)² + (y + 3)²]
अब √ को हटाने के लिए दोनों तरफ स्क्वायर करेंगे:
10² = (8)² + (y + 3)²
100 = 64 + (y + 3)²
अब, (y + 3)² को अलग करें:
(y + 3)² = 100 - 64
(y + 3)² = 36
अब, दोनों तरफ √ लें:
y + 3 = ±6
दो संभावनाएं हैं:
- y + 3 = 6
- y + 3 = -6
पहली संभावना: y + 3 = 6
y = 6 - 3
y = 3
दूसरी संभावना: y + 3 = -6
y = -6 - 3
y = -9
निष्कर्ष:
y के मान हो सकते हैं: **y = 3** और **y = -9**।
प्रश्न 9:
यदि Q (0, 1) बिंदु P (5, -3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है, तो x के मान निकालिए। साथ ही QR और PR की दूरी भी ज्ञात कीजिए।
समाधान:
हमें यह जानकारी दी गई है कि Q (0, 1) बिंदु P (5, -3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र:
दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी इस सूत्र से ज्ञात की जाती है:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
दूरी PR:
हम सबसे पहले PR की दूरी का सूत्र लिखेंगे। बिंदु P (5, -3) और R (x, 6) के बीच की दूरी:
PR = √[(x - 5)² + (6 - (-3))²] = √[(x - 5)² + (6 + 3)²] = √[(x - 5)² + 9²] = √[(x - 5)² + 81]
दूरी QR:
अब QR की दूरी का सूत्र लिखेंगे। बिंदु Q (0, 1) और R (x, 6) के बीच की दूरी:
QR = √[(x - 0)² + (6 - 1)²] = √[x² + 5²] = √[x² + 25]
चूंकि Q (0, 1) बिंदु P (5, -3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है, तो:
PR = QR
इसलिए:
√[(x - 5)² + 81] = √[x² + 25]
अब √ को हटाने के लिए दोनों तरफ स्क्वायर करेंगे:
[(x - 5)² + 81] = [x² + 25]
अब इसे हल करते हैं:
(x² - 10x + 25) + 81 = x² + 25
x² - 10x + 106 = x² + 25
x² के दोनों पक्षों से हटा दें:
-10x + 106 = 25
अब, x के लिए हल करें:
-10x = 25 - 106
-10x = -81
x = 8.1
निष्कर्ष:
अतः **x = 8.1** है।
QR और PR की दूरी:
अब हम QR और PR की दूरी निकाल सकते हैं।
QR की दूरी:
QR = √[x² + 25] = √[(8.1)² + 25] = √[65.61 + 25] = √90.61 ≈ 9.52
PR की दूरी:
PR = √[(x - 5)² + 81] = √[(8.1 - 5)² + 81] = √[(3.1)² + 81] = √[9.61 + 81] = √90.61 ≈ 9.52
QR और PR की दूरी दोनों समान हैं और लगभग **9.52** इकाइयां हैं।
प्रश्न 10:
बिंदु (x, y) बिंदु (3, 6) और (-3, 4) से समान दूरी पर है, तो x और y के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।
समाधान:
यहां हमें यह जानकारी दी गई है कि बिंदु (x, y) बिंदु (3, 6) और (-3, 4) से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र:
दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी इस सूत्र से ज्ञात की जाती है:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
दूरी (x, y) से (3, 6):
बिंदु (x, y) और (3, 6) के बीच की दूरी:
d₁ = √[(x - 3)² + (y - 6)²]
दूरी (x, y) से (-3, 4):
बिंदु (x, y) और (-3, 4) के बीच की दूरी:
d₂ = √[(x + 3)² + (y - 4)²]
चूंकि बिंदु (x, y) दोनों बिंदुओं से समान दूरी पर है, तो:
d₁ = d₂
इसलिए:
√[(x - 3)² + (y - 6)²] = √[(x + 3)² + (y - 4)²]
अब √ को हटाने के लिए दोनों तरफ स्क्वायर करेंगे:
[(x - 3)² + (y - 6)²] = [(x + 3)² + (y - 4)²]
अब इसे हल करते हैं:
(x² - 6x + 9) + (y² - 12y + 36) = (x² + 6x + 9) + (y² - 8y + 16)
x² और y² के दोनों पक्षों से हटा दें:
- 6x + 9 + (-12y + 36) = 6x + 9 + (-8y + 16)
अब इसे सरल करें:
-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25
अब, x और y के समान पक्षों को लाकर हल करें:
-6x - 6x = -8y + 12y + 25 - 45
-12x = 4y - 20
अंत में, इसे इस रूप में लिख सकते हैं:
3x + y = 5
निष्कर्ष:
अतः x और y के बीच संबंध है: 3x + y = 5
प्रश्न 1:
बिंदु (-1, 7) और (4, -3) के बीच के रेखांश को 2:3 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान:
यहां हमें दो बिंदु दिए गए हैं: (-1, 7) और (4, -3), और हमें इन्हें 2:3 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने हैं।
दो बिंदुओं के बीच अनुपात से निर्देशांक निकालने का सूत्र:
यदि किसी रेखा खंड के दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) हैं, और रेखा खंड को अनुपात m:n में विभाजित करने वाला बिंदु P(x, y) है, तो इसके निर्देशांक इस प्रकार होते हैं:
x = (m * x₂ + n * x₁) / (m + n)
y = (m * y₂ + n * y₁) / (m + n)
यहां m = 2 और n = 3 है।
अब, हम इन निर्देशांकों का उपयोग करके bindi का (x, y) निकाल सकते हैं:
x निर्देशांक:
x = (2 * 4 + 3 * (-1)) / (2 + 3) = (8 - 3) / 5 = 5 / 5 = 1
y निर्देशांक:
y = (2 * (-3) + 3 * 7) / (2 + 3) = (-6 + 21) / 5 = 15 / 5 = 3
निष्कर्ष:
अतः बिंदु (-1, 7) और (4, -3) के बीच 2:3 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु (1, 3) है।
प्रश्न 2:
बिंदु (4, -1) और (-2, -3) के बीच के रेखांश के त्रिसेक्शन (Trisection) के बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान:
यहां हमें दो बिंदु दिए गए हैं: (4, -1) और (-2, -3), और हमें इस रेखा खंड को त्रिसेक्शन (Trisection) के दो बिंदुओं में विभाजित करने वाले निर्देशांक ज्ञात करने हैं।
त्रिसेक्शन के बिंदुओं के लिए सूत्र:
दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच के रेखांश के त्रिसेक्शन के बिंदुओं के निर्देशांक इस प्रकार होते हैं:
पहला बिंदु (1:2 अनुपात में विभाजन):
x₁ = (1 * x₂ + 2 * x₁) / (1 + 2)
y₁ = (1 * y₂ + 2 * y₁) / (1 + 2)
दूसरा बिंदु (2:1 अनुपात में विभाजन):
x₂ = (2 * x₂ + 1 * x₁) / (2 + 1)
y₂ = (2 * y₂ + 1 * y₁) / (2 + 1)
अब हम इन सूत्रों का उपयोग करके बिंदुओं के निर्देशांक निकालेंगे।
पहला बिंदु (1:2 अनुपात में):
x₁ = (1 * (-2) + 2 * 4) / (1 + 2) = (-2 + 8) / 3 = 6 / 3 = 2
y₁ = (1 * (-3) + 2 * (-1)) / (1 + 2) = (-3 - 2) / 3 = -5 / 3 ≈ -1.67
दूसरा बिंदु (2:1 अनुपात में):
x₂ = (2 * (-2) + 1 * 4) / (2 + 1) = (-4 + 4) / 3 = 0 / 3 = 0
y₂ = (2 * (-3) + 1 * (-1)) / (2 + 1) = (-6 - 1) / 3 = -7 / 3 ≈ -2.33
निष्कर्ष:
इस प्रकार, त्रिसेक्शन के बिंदु के निर्देशांक हैं:
- पहला बिंदु: (2, -1.67)
- दूसरा बिंदु: (0, -2.33)
प्रश्न 3:
आपके आयताकार आकार के स्कूल मैदान ABCD में, AD रेखा के साथ 1 मीटर की दूरी पर 100 फूलों के बर्तन रखे गए हैं, जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है। निहारिका 2nd लाइन पर AD की 1/4 दूरी दौड़कर हरा ध्वज लगाती है। प्रीत 8th लाइन पर AD की 1/5 दूरी दौड़कर लाल ध्वज लगाता है। दोनों ध्वजों के बीच की दूरी कितनी है? यदि रश्मि को इन दोनों ध्वजों के बीच ठीक मध्य बिंदु पर नीला ध्वज लगाना है, तो वह कहाँ अपना ध्वज लगाएगी?
समाधान:
हमारे पास आयताकार मैदान ABCD है। बिंदु A और D के बीच की दूरी 100 मीटर है, और AD रेखा पर 1 मीटर की दूरी पर फूलों के बर्तन रखे गए हैं।
निहारिका के ध्वज की स्थिति (2nd लाइन पर 1/4 AD दूरी):
निहारिका ने AD की 1/4 दूरी पर 2nd लाइन पर ध्वज लगाया है।
निहारिका का स्थान = (1/4) * 100 = 25 मीटर (2nd लाइन पर)
प्रीत के ध्वज की स्थिति (8th लाइन पर 1/5 AD दूरी):
प्रीत ने AD की 1/5 दूरी पर 8th लाइन पर ध्वज लगाया है।
प्रीत का स्थान = (1/5) * 100 = 20 मीटर (8th लाइन पर)
दोनों ध्वजों के बीच की दूरी:
निहारिका और प्रीत के ध्वजों के बीच की दूरी की गणना की जाती है:
दूरी = |25 - 20| = 5 मीटर
रश्मि के ध्वज का स्थान (दोनों ध्वजों के बीच का मध्य बिंदु):
रश्मि को दोनों ध्वजों के बीच के मध्य बिंदु पर ध्वज लगाना है। मध्य बिंदु की स्थिति निकालने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
मध्य बिंदु = (x₁ + x₂) / 2
यहां, x₁ = 25 (निहारिका का स्थान), x₂ = 20 (प्रीत का स्थान)
मध्य बिंदु = (25 + 20) / 2 = 45 / 2 = 22.5 मीटर
निष्कर्ष:
दोनों ध्वजों के बीच की दूरी 5 मीटर है, और रश्मि को अपना नीला ध्वज 22.5 मीटर पर लगाना चाहिए।
प्रश्न 4:
लाइन खंड जो बिंदुओं (-3, 10) और (6, –8) को जोड़ता है, उसे बिंदु (-1, 6) द्वारा किस अनुपात में विभाजित किया गया है?
समाधान:
हम इस प्रश्न को "दो बिंदुओं के बीच विभाजन अनुपात" की विधि से हल करेंगे। यदि बिंदु P(x, y) लाइन खंड AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
(x₁ + (m / (m+n)) * (x₂ - x₁), y₁ + (m / (m+n)) * (y₂ - y₁)) = (x, y)
यहां, बिंदु A (-3, 10) और बिंदु B (6, -8) को जोड़ने वाली रेखा को बिंदु P (-1, 6) से विभाजित किया गया है। अब हम दोनों x और y कोऑर्डिनेट्स के लिए अनुपात m:n का पता लगाएंगे।
x-कोऑर्डिनेट के लिए:
(m / (m + n)) * (-3) + (n / (m + n)) * (6) = -1
y-कोऑर्डिनेट के लिए:
(m / (m + n)) * (10) + (n / (m + n)) * (-8) = 6
अब इन समीकरणों को हल करके अनुपात m:n ज्ञात किया जाएगा।
प्रश्न 5:
रेखा खंड जो A(1, –5) और B(–4, 5) को जोड़ता है, उसे x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित किया गया है? साथ ही, विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात करें।
समाधान:
जब एक रेखा खंड x-अक्ष द्वारा विभाजित होता है, तो y-कोऑर्डिनेट 0 होगा (क्योंकि x-अक्ष पर सभी बिंदुओं का y-कोऑर्डिनेट 0 होता है)।
हम विभाजन के अनुपात को ढूंढने के लिए "दो बिंदुओं के बीच विभाजन अनुपात" का उपयोग करेंगे। बिंदु P(x, y), जो रेखा खंड AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है, के निर्देशांक निम्नलिखित होते हैं:
x = (m * x₂ + n * x₁) / (m + n)
y = (m * y₂ + n * y₁) / (m + n)
यहां, बिंदु A(1, –5) और बिंदु B(–4, 5) हैं। हमें x-अक्ष पर बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करने हैं, जिसका y-कोऑर्डिनेट 0 होगा।
y-कोऑर्डिनेट समीकरण:
(m * 5 + n * (-5)) / (m + n) = 0
यह हल करने पर m = n प्राप्त होता है, जो अनुपात 1:1 को दर्शाता है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक:
x = (-4 + 1) / 2 = -3 / 2
y = (5 - 5) / 2 = 0
इसलिए, विभाजन बिंदु के निर्देशांक (-3/2, 0) हैं।
प्रश्न 6:
यदि (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बिंदु हैं, जो क्रम में लिए गए हैं, तो x और y का मान ज्ञात करें।
समाधान:
समांतर चतुर्भुज में, इसके विपरीत बिंदु एक दूसरे के मध्य बिंदु होते हैं।
हम पहले बिंदु (1, 2) और (x, 6) के मध्य बिंदु का पता लगाते हैं:
(1, 2) और (x, 6) के मध्य बिंदु:
( (1 + x)/2, (2 + 6)/2 ) = ( (1 + x)/2, 4 )
अब, हम (4, y) और (3, 5) के मध्य बिंदु का पता लगाते हैं:
(4, y) और (3, 5) के मध्य बिंदु:
( (4 + 3)/2, (y + 5)/2 ) = ( 7/2, (y + 5)/2 )
इन दोनों मध्य बिंदुओं को समान मानते हुए:
( (1 + x)/2, 4 ) = ( 7/2, (y + 5)/2 )
हम दोनों समीकरणों को हल करते हैं:
1. (1 + x)/2 = 7/2 → x = 6
2. 4 = (y + 5)/2 → y = 3
इसलिए, x = 6 और y = 3।
प्रश्न 7:
किसी वृत्त का केंद्र (2, -3) है और B बिंदु (1, 4) है। AB वृत्त का व्यास है, तो A बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान:
चूंकि AB वृत्त का व्यास है और C वृत्त का केंद्र है, तो AB का मध्य बिंदु C होगा।
मध्य बिंदु का सूत्र:
( (x_A + 1)/2, (y_A + 4)/2 ) = (2, -3)
समीकरण हल करते हैं:
1. (x_A + 1)/2 = 2 → x_A = 3
2. (y_A + 4)/2 = -3 → y_A = -10
इसलिए, A बिंदु के निर्देशांक (3, -10) हैं।
प्रश्न 8:
A और B के निर्देशांक (-2, -2) और (2, -4) दिए गए हैं। P बिंदु की निर्देशांक ज्ञात करें, ऐसा कि AP = 3/7 AB और P बिंदु AB रेखा खंड पर स्थित है।
समाधान:
यहां, अनुपात 3:4 है। अनुपाती विभाजन सूत्र:
P = ( (3 * 2 + 4 * (-2)) / (3 + 4), (3 * (-4) + 4 * (-2)) / (3 + 4) )
समीकरण हल करते हैं:
P = ( (-2)/7, (-20)/7 )
इसलिए, P बिंदु के निर्देशांक (-2/7, -20/7) हैं।
प्रश्न 9:
A (-2, 2) और B (2, 8) बिंदुओं के बीच के रेखा खंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान:
यहां, अनुपात 3:4 है। अनुपाती विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए हम P1, P2, और P3 के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
P1 = (-1, 3.5), P2 = (0, 5), P3 = (1, 6.5)
प्रश्न 10:
यदि एक समचतुर्भुज के शिखर (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समाधान:
समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई 4√2 और 6√2 है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई
