बहुपद प्रश्नावली 2.1 और 2.2 : NCERT Book Solutions न्यू पैटर्न पर आधारित | Merit Yard

📘 बहुपद - अभ्यास प्रश्न

ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जिन्हें हर विद्यार्थी को जरूर तैयार करना चाहिए ✅

📘 Exercise 2.1 – बहुपद

प्रश्न 1: किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

(i) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है ) 

(ii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 1 बार काटती है ) 

(iii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है ) 

(iv) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 2 बार काटती है ) 

(v) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 4 बार काटती है ) 

(vi) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है ) 

📘 Exercise 2.2 – वास्तविक संख्याएँ

प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:

1. x² − 2x − 8
2. 4s² − 4s + 1
3. 6x² − 3 − 7x
4. 4u² + 8u
5. t² − 15
6. 3x² − x − 4

उत्तर: (i) x2–2x –8

माना यहाँ a = 1 , b = -2 और c = -8 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒x2 – 4x + 2x – 8 = 0

⇒ x (x–4) +2 (x–4) = 0

⇒ (x-4)(x+2) = 0

⇒ (x-4) = 0 और (x+2) = 0

x = 4 और x = -2

शून्यक हैं : α = 4 और β=  -2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग: $\mathrm{\alpha }+ \mathrm{\beta }= -b/a$

​⇒ 4 + (-2) = $-\frac{\mathrm{(-2)/}}{1}$

​⇒ 2 = 2 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ 4 x (-2) = -8 / 1 
​⇒ -8 = -8 (सत्य है)

(ii) 4s2 – 4s + 1

माना यहाँ a = 4 , b = -4 और c = 1 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒ 4s2–2s–2s+1 = 

⇒ 2s(2s–1)–1(2s-1) = 

⇒ (2s–1)(2s–1) = 0

⇒ (2s–1) = 0 और (2s–1) = 0

s = 1/2 और x = 1/2

शून्यक हैं : α = 1/2 और β=  1/2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग: $\mathrm{\alpha }+ \mathrm{\beta }= -b/a$

​⇒ (1/2) + (1/2) = -(-4)/4

​⇒ 1 = 1 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ (1/2)×(1/2) = 1/4 
​⇒ 1/4 = 1/4 (सत्य है)

(iii)  6x2 – 3 – 7x

माना यहाँ a = 6 , b = -7 और c = 3 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒6x2–7x–3 = 0

⇒ 6x2 – 9x + 2x – 3 = 0

⇒ 3x(2x – 3) +1(2x – 3) = 0

⇒ (3x+1)(2x-3) = 0

⇒  (3x+1) = 0 और (2x-3) = 0

x = -1/3 और x = 3/2

शून्यक हैं : α = -1/3 और β= 3/2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग: $\mathrm{\alpha }+ \mathrm{\beta }= -b/a$

​⇒ -(1/3) + (3/2) = -7/6

​⇒ -7/6 = -7/6 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ -(1/3) × (3/2) = -(3/6)
​⇒ -3/6 = -3/6 (सत्य है)

(iv) 4u2 + 8u

माना यहाँ a = 4 , b = 8 और c = 0 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒4u (u+2) = 0

⇒ 4u = 0 और (u+2) = 0

x = 0 और x = -2

शून्यक हैं : α = 0 और β=  -2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग: $\mathrm{\alpha }+ \mathrm{\beta }= -b/a$

​⇒ 0+(-2) = -(8/4)

​⇒ -2 = -2 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ 
​⇒ 0 = 0 (सत्य है)

(v) t2 – 15

माना यहाँ a = 1 , b = 0 और c = -15 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒ t2 = 15  

⇒ t = ±√15

t = √15 और t = -√15

शून्यक हैं : α = √15 और β=  -√15

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग: $\mathrm{\alpha }+ \mathrm{\beta }= -b/a$

​⇒ √15+(-√15) =  -(0/1)

​⇒ 0 = 0 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ 15×(-√15) = -15/1 
​⇒ -15 = -15 (सत्य है)

(vi) 3x2 – x – 4

माना यहाँ a = 3 , b = -1 और c = -4 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒3x2 – 4x + 3x – 4 =  

⇒ x(3x-4)+1(3x-4) = 0

⇒ (3x – 4)(x + 1) = 0

⇒ (3x – 4) = 0 और (x + 1) = 0

x = 4/3 और x = -1

शून्यक हैं : α = 4/3 और β=  -1

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

• शून्यकों का योग:α + β $= -b/a$

​⇒ (4/3)+(-1) = -(-1/3) 

​⇒ 1/3 = 1/3 (सत्य है)

• शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; c/a$

​⇒ (4/3)×(-1) = (-4/3) 
​⇒ -4/3 = -4/3 (सत्य है)

---

प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:

1. 1/4, −1
2. √2, 1/3
3. 0, √5
4. 1, 1
5. −1/4, 1/4
6. 4, 1

उत्तर:

1. 1/4 , -1
   
   
   दिया है :
   • शून्यकों का योग: α + β $=\; 1/4$

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; -1$

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; font-size:\; medium;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="font-family:\; Mukta;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span>x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span>–\; (1/4)\; x\; +\; (-1)\; =\; 0</span> </span></span>$

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span></span></span>$$<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">4x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span></span></span></span></span>$– x - 4 = 0

   अतः $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">4x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span></span></span></span></span>$– x - 4 द्विघात बहुपद है ।

   (ii)√2, 1/3

   
   

   दिया है :

   • शून्यकों का योग: α + β $=$√2

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; 1/3$

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $​⇒ x2 – √2 x + (1/3) = 0 $

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span></span></span>$3x2 - 3√2 x + 1 = 0

   अतः 3x2 - 3√2 x + 1 द्विघात बहुपद है ।

   (iii) 0, √5

   
   

   दिया है :

   • शून्यकों का योग: α + β $=\; 0$

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=$√5

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $​⇒ x2 – (0) x +√5 = 0 $

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span></span></span>$x2  + √5 = 0 

   अतः x2  + √5 द्विघात बहुपद है ।

   (iv) 1, 1

   
   

   दिया है :

   • शून्यकों का योग: α + β $=\; 1$

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; 1$

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; font-size:\; medium;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="font-family:\; Mukta;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span>x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span>–\; 1x\; +\; 1\; =\; 0</span> </span></span>$

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span></span></span>$$<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span></span></span></span></span>$– x + 1 = 0

   अतः $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">x<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; 0;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; position:\; relative;\; top:\; -0.5em;\; vertical-align:\; baseline;">2 </span></span></span></span></span>$– x + 1 द्विघात बहुपद है ।

   (v) -1/4, 1/4

   
   

   दिया है :

   • शून्यकों का योग: α + β $=$-1/4

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; 1/4$

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; font-size:\; medium;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span>$x2 – ( -1 / 4) x + (1/4) = 0

   ​⇒ 4x2 + x + 1 = 0

   अतः  4x2 + x + 1 = 0 द्विघात बहुपद है ।

   (vi) 4, 1

   
   

   दिया है :

   • शून्यकों का योग: α + β $=\; 4$

   • शून्यकों का गुणनफल: $$$\mathrm{\alpha .}\mathrm{\beta }=\; 1$

   α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

   
   

   x2 – (α + β) x + αβ = 0 

   $<span\; style="background:\; 0px\; 0px;\; border:\; 0px;\; font-size:\; medium;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; 0px\; 0px;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span><span\; style="background:\; 0px\; 0px\; transparent;\; border:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; outline:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;">\Rightarrow </span></span></span>$x2 – 4x + 1 = 0

   अतः x2 – 4x + 1 द्विघात बहुपद है ।

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