विधार्थी इस चैप्टर का सम्पूर्ण रिवीजन करलें इस से बाहर Exam में कुछ भी नहीं पूछे जाएंगे 👇
Based on New NCERT PATTERN [2024-25]
Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
हल:
(i) 140 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
(ii) 156 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 3 x 13 = 22 x 3 x 13
(iii) 3825 का अभाज्य गुणनखंड = 3 x 3 x 5 x 17 = 32 x 52 x x 17
(iv) 5005 का अभाज्य गुणनखंड = 5 x 7 x 11 x 13
(v) 7429 का अभाज्य गुणनखंड= 17 x 19 x 23
Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है|
(i) 26 और 91
हल:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
सार्व गुणनखंड = 13
∴ HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
a × b = LCM × HCF
26 × 91 = 13 × 182
2366 = 2366
अतः LCM × HCF = 26 और 91 का गुणनफल है |
(ii) 510 और 92
हल:
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
सार्व गुणनखंड = 2
∴ HCF = 2
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
जाँच,
दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF
a x b = LCM × HCF
510 × 92 = 2 × 23460
46920 = 46920
अतः LCM × HCF = 510 और 92 का गुणनफल है |
(iii) 336 और 54
हल:
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 3
∴ HCF = 6
LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024
जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
a × b = LCM × HCF
336 × 54 = 6 × 3024
18144 = 18144
अतः LCM × HCF = 336 और 54 का गुणनफल है |
Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |
(i) 12, 15 और 21
हल: तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड, हमें प्राप्त होते हैं,
12 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
21 = 7 × 3
∴ HCF = 3
∴ LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23 और 29
हल: तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड, हमें प्राप्त होते हैं,
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
∴ HCF = 1
∴ LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 और 25
हल: तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड, हमें प्राप्त होते हैं,
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
25 = 5 × 5
∴ HCF = 1
∴ LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 8 × 9 × 25 = 1800
Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए |
हल:
HCF (306, 657) = 9
हम जानते हैं कि, LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल
L.C.M x H.C.F = पहली संख्या x दूसरी संख्या
L.C.M x 9 = 306 x 657
LCM = (306×657)/9 = 22338
अतः LCM = 22338 होगा |
Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है |
हल:
6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )n
जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है |
अतः किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6 n कभी भी अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकता
Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?
हल :
A. 7 × 11 × 13 + 13:
जब हम 7 × 11 × 13 का गुणा करते हैं और उसमें 13 जोड़ते हैं, तो हमें संख्या 1014 प्राप्त होती है।
इस संख्या के 1 और खुद के अलावा कई अन्य भाजक हैं, जैसे 2, 3, 6, 9, 18, 27, इत्यादि। चूँकि इसके दो से अधिक भाजक हैं, इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
2. 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5:
जब हम 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 का गुणा करते हैं और उसमें 5 जोड़ते हैं, तो हमें संख्या 5045 प्राप्त होती है।
पिछले उदाहरण की तरह, इस संख्या के भी 1 और खुद के अलावा अन्य भाजक हैं, जैसे 5, 1009 और अन्य। चूँकि इसके दो से ज़्यादा भाजक हैं, इसलिए यह भी एक भाज्य संख्या है।
अतः, दोनों व्यंजक, 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5, भाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि उनमें दो से अधिक भिन्न संख्याएँ हैं जो उन्हें समान रूप से विभाजित कर सकती हैं।
Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल:
एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |
रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |
वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |
अत:
18 और 12 का LCM ज्ञात करने के लिए, आइए सबसे पहले उनके अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
12 और 18 का L.C.M = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
इसलिए, रवि और सोनिया 36 मिनट के बाद प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।
अभ्यास 1.2
1. सिद्ध कीजिए कि √2 अपरिमेय है।
Explanation:
मान लें कि विपरीत से, √2 एक परिमेय संख्या है। इसका मतलब है कि इसे एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:
i.e., √2 = a/b
जहां 'a' और 'b' पूर्णांक हैं, और 'a' और 'b' के बीच कोई सामान्य गुणक नहीं है (यानि, भिन्न अपने सरलतम रूप में है)।
अब, हम दोनों तरफ वर्ग कर सकते हैं ताकि वर्गमूल हट जाए:
⇒ (√2)² = (a/b)²
⇒ 2 = a²/b²
⇒ a² = 2b²
इससे हमें पता चलता है कि a², 2 का गुणज है।
इसलिए, a भी 2 का गुणज होना चाहिए। मान लेते हैं कि a = 2k, जहां 'k' एक पूर्णांक है।
⇒ a = 2k
⇒ a² = 4k²
अब, हम इस मान को पिछले समीकरण में डालते हैं:
⇒ 2b² = 4k²
⇒ b² = 2k²
इससे हमें पता चलता है कि b² भी 2 का गुणज है, जिसका मतलब है कि b भी 2 का गुणज होना चाहिए।
अब हम देख सकते हैं कि a और b दोनों ही 2 के गुणज हैं, जो इस बात का खंडन करता है कि 'a' और 'b' के बीच कोई सामान्य गुणक नहीं है।
इसलिए, हमारी प्रारंभिक मान्यता कि √2 परिमेय है, गलत हो जाती है।
अत: √2 अपरिमेय है।
2. सिद्ध कीजिए कि (3 + 2√5) अपरिमेय है।
Explanation:
मान लें कि विपरीत से, 3 + 2√5 परिमेय है।
तो, कुछ co-prime पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे जिनके लिए:
3 + 2√5 = a / b
⇒ 2√5 = a / b - 3
⇒ √5 = (a - 3b) / (2b)
चूंकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए (a - 3b) / 2b एक परिमेय संख्या है।
इसका मतलब है कि √5 परिमेय है। लेकिन यह तथ्य के विपरीत है कि √5 अपरिमेय है।
इसलिए, हमारी प्रारंभिक मान्यता गलत है। अत: 3 + 2√5 अपरिमेय है।
3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित अपरिमेय संख्याएँ हैं।
(i) 1/ √ 2
(ii) 7 √ 5
(iii) 6 + √ 2
उत्तर:
(i) 1/ √ 2
मान लें कि 1/√2 परिमेय है।
इसका मतलब है कि कुछ co-prime पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे जिनके लिए:
1/√2 = a / b
⇒ √2 = b / a
अब, चूंकि a और b पूर्णांक हैं, इसका मतलब है कि √2 परिमेय है, लेकिन यह तथ्य के विपरीत है कि √2 अपरिमेय है।
अत: 1/√2 अपरिमेय है।
(ii) 7 √ 5
मान लें कि 7√5 परिमेय है।
इसका मतलब है कि कुछ co-prime पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे जिनके लिए:
7√5 = a / b
⇒ √5 = a / 7b
अब, चूंकि a और b पूर्णांक हैं, इसका मतलब है कि √5 परिमेय है, लेकिन यह तथ्य के विपरीत है कि √5 अपरिमेय है।
अत: 7√5 अपरिमेय है।
(iii) 6 + √ 2
मान लें कि विपरीत से, 6 + √2 परिमेय है।
तो, कुछ co-prime पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे जिनके लिए:
6 + √2 = a / b
⇒ √2 = (a - 6b) / b
अब, चूंकि a और b पूर्णांक हैं, इसका मतलब है कि (a - 6b) / b परिमेय है।
इसलिए, √2 परिमेय है, लेकिन यह तथ्य के विपरीत है कि √2 अपरिमेय है।
अत: 6 + √2 अपरिमेय है।
- Comprehensive Coverage: NCERT Solutions में Chapter 1 के सभी concepts को कवर किया गया है, जिससे real numbers की thorough understanding होती है।
- Step-by-Step Solutions: हर question का हल step-by-step दिया गया है, जो concepts को logically और clearly explain करता है।
- Easy to Understand: Solutions को simple और आसानी से समझ में आने वाली language में प्रस्तुत किया गया है, जिससे सभी students इसे आसानी से समझ सकें।
- Well-Structured Format: Solutions को well-structured format में organize किया गया है ताकि students इसे आसानी से follow कर सकें।
- Exercise-wise Solutions: NCERT Solutions को exercises में divide किया गया है, जिससे students systematically practice और revise कर सकें।
- Illustrative Examples: Illustrative examples को भी include किया गया है ताकि students concepts को बेहतर तरीके से समझ सकें।
- Exam-Oriented Approach: Solutions को exam preparation को ध्यान में रखते हुए बनाया गया है ताकि students अच्छा perform कर सकें।
- Clarity of Concepts: Solutions real numbers, HCF, LCM, irrational numbers आदि के fundamental concepts को clear करने में मदद करते हैं।
- Error-Free: NCERT Solutions को subject matter experts द्वारा तैयार किया गया है, जिससे ये solutions accurate और error-free होते हैं।
- Accessible for Free: Class 10 Maths Chapter 1 के NCERT Solutions online free में उपलब्ध हैं, जिससे सभी students को आसानी से access मिल सके।
Frequently Asked Questions on NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1
1. NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 का महत्व क्या है?
NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1 के सभी problems के detailed explanations और solutions provide करते हैं। ये concepts को बेहतर ढंग से समझने, अलग-अलग तरह के questions practice करने और exam की effective तैयारी में मदद करते हैं।
2. क्या Class 10 Maths Chapter 1 के NCERT Solutions exam preparation के लिए पर्याप्त हैं?
NCERT Solutions concepts को समझने के लिए आवश्यक हैं, लेकिन comprehensive exam preparation के लिए आपको additional practice questions, previous year papers और reference books से भी questions solve करने चाहिए।
3. Class 10 Maths Chapter 1 के NCERT Solutions में कितनी exercises हैं?
2023-24 के नए NCERT pattern के अनुसार, Chapter 1 में total 2 exercises हैं। इन exercises में real numbers, rational और irrational numbers, HCF, LCM आदि के concepts पर आधारित विभिन्न questions होते हैं। ये exercises students की practice और understanding को reinforce करने के लिए design की गई हैं।
4. क्या NCERT ने इस chapter से कुछ topics delete किए हैं?
हाँ, NCERT ने दो topics हटा दिए हैं:
- Euclid’s Division Lemma [Old book का Exercise 1.1]
- Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions [Old book का Exercise 1.4]
5. Class 10 exam में 95+ score करने के कुछ tips क्या हैं?
- अपनी studies में consistency बनाए रखें और regularly revise करें।
- Concepts को समझने पर focus करें, न कि केवल रटने पर।
- Previous year question papers और sample papers practice करें।
- Exam के दौरान time को effectively manage करें।
- Teachers या peers से help लें जब भी ज़रूरत हो।
- Exam के दौरान calm और confident रहें।
- अपनी health का ध्यान रखें और exam से पहले पूरा आराम करें।
- Last-minute cramming और stress से बचें।
अगर कुछ पूछना चाहते है तो हमें Instagram पर मैसेज करें