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Based on New NCERT PATTERN [2024-25]
अभ्यास 2.1
Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
हल:
(i) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )
(ii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 1 बार काटती है )
(iii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है )
(iv) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 2 बार काटती है )
(v) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 4 बार काटती है )
(vi) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 : (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है )
अभ्यास 2.2
Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
Solutions:
(i) x2–2x –8
माना यहाँ a = 1 , b = -2 और c = -8 है |
गुणनखंड विधि से
⇒x2 – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x (x–4) +2 (x–4) = 0
⇒ (x-4)(x+2) = 0
⇒ (x-4) = 0 और (x+2) = 0
x = 4 और x = -2
शून्यक हैं : α = 4 और β= -2
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ -8 = -8 (सत्य है)
(ii) 4s2 – 4s + 1
माना यहाँ a = 4 , b = -4 और c = 1 है |
गुणनखंड विधि से
⇒ 4s2–2s–2s+1 =
⇒ 2s(2s–1)–1(2s-1) =
⇒ (2s–1)(2s–1) = 0
⇒ (2s–1) = 0 और (2s–1) = 0
s = 1/2 और x = 1/2
शून्यक हैं : α = 1/2 और β= 1/2
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ 1/4 = 1/4 (सत्य है)
(iii) 6x2 – 3 – 7x
माना यहाँ a = 6 , b = -7 और c = 3 है |
गुणनखंड विधि से
⇒6x2–7x–3 = 0
⇒ 6x2 – 9x + 2x – 3 = 0
⇒ 3x(2x – 3) +1(2x – 3) = 0
⇒ (3x+1)(2x-3) = 0
⇒ (3x+1) = 0 और (2x-3) = 0
x = -1/3 और x = 3/2
शून्यक हैं : α = -1/3 और β= 3/2
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ -3/6 = -3/6 (सत्य है)
(iv) 4u2 + 8u
माना यहाँ a = 4 , b = 8 और c = 0 है |
गुणनखंड विधि से
⇒4u (u+2) = 0
⇒ 4u = 0 और (u+2) = 0
x = 0 और x = -2
शून्यक हैं : α = 0 और β= -2
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ 0 = 0 (सत्य है)
(v) t2 – 15
माना यहाँ a = 1 , b = 0 और c = -15 है |
गुणनखंड विधि से
⇒ t2 = 15
⇒ t = ±√15
t = √15 और t = -√15
शून्यक हैं : α = √15 और β= -√15
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ -15 = -15 (सत्य है)
(vi) 3x2 – x – 4
माना यहाँ a = 3 , b = -1 और c = -4 है |
गुणनखंड विधि से
⇒3x2 – 4x + 3x – 4 =
⇒ x(3x-4)+1(3x-4) = 0
⇒ (3x – 4)(x + 1) = 0
⇒ (3x – 4) = 0 और (x + 1) = 0
x = 4/3 और x = -1
शून्यक हैं : α = 4/3 और β= -1
अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:
- शून्यकों का योग:α
+ β
- शून्यकों का गुणनफल:
⇒ -4/3 = -4/3 (सत्य है)
- शून्यकों का योग: α
+ β
- शून्यकों का गुणनफल:
– x - 4 = 0
अतः – x - 4 द्विघात बहुपद है ।
- शून्यकों का योग: α
+ β √2
- शून्यकों का गुणनफल:
3x2 - 3√2 x + 1 = 0
अतः 3x2 - 3√2 x + 1 द्विघात बहुपद है ।
- शून्यकों का योग: α
+ β
- शून्यकों का गुणनफल: √5
x2 + √5 = 0
अतः x2 + √5 द्विघात बहुपद है ।
- शून्यकों का योग: α
+ β
- शून्यकों का गुणनफल:
– x + 1 = 0
अतः – x + 1 द्विघात बहुपद है ।
- शून्यकों का योग: α
+ β -1/4
- शून्यकों का गुणनफल:
x2 – ( -1 / 4) x + (1/4) = 0
⇒ 4x2 + x + 1 = 0
अतः 4x2 + x + 1 = 0 द्विघात बहुपद है ।
- शून्यकों का योग: α
+ β
- शून्यकों का गुणनफल:
x2 – 4x + 1 = 0
अतः x2 – 4x + 1 द्विघात बहुपद है ।
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