बहुपद प्रश्नावली 2.1 और 2.2 : NCERT Book Solutions न्यू पैटर्न पर आधारित

 विधार्थी इस चैप्टर का सम्पूर्ण रिवीजन करलें इस से बाहर Exam में कुछ भी नहीं पूछे जाएंगे 👇




Based on New NCERT PATTERN [2024-25]

अभ्यास 2.1

Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |


हल:

(i) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है ) 

(ii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 1 बार काटती है ) 

(iii) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है ) 

(iv) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 2 बार काटती है ) 

(v) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 4 बार काटती है ) 

(vi) p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3 :  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को 3 बार काटती है ) 


अभ्यास 2.2

Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए | 

Solutions:

(i) x2–2x –8

माना यहाँ a = 1 , b = -2 और c = -8 है |

गुणनखंड विधि से 

x– 4x + 2x – 8 = 0

 x (x–4) +2 (x–4) = 0

 (x-4)(x+2) = 0

⇒ (x-4) = 0 और (x+2) = 0

x = 4 और x = -2

शून्यक हैं α = 4 और β=  -2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग: α β −b/a
⇒ 4 + (-2) = (-2)/1
⇒ 2 = 2 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ 4 x (-2) = -8 / 1
⇒ -8 = -8 (सत्य है)

(ii) 4s– 4s + 1

माना यहाँ a = 4 , b = -4 और c = 1 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒ 4s2–2s–2s+1 = 

⇒ 2s(2s–1)–1(2s-1) = 

⇒ (2s–1)(2s–1) = 0

⇒ (2s–1) = 0 और (2s–1) = 0

s = 1/2 और x = 1/2

शून्यक हैं α = 1/2 और β=  1/2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग: α β −b/a
⇒ (1/2) + (1/2) = -(-4)/4
⇒ 1 = 1 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ (1/2)×(1/2) = 1/4 
⇒ 1/4 = 1/4 (सत्य है)

(iii)  6x– 3 – 7x

माना यहाँ a = 6 , b = -7 और c = 3 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒6x2–7x–3 = 0

⇒ 6x– 9x + 2x – 3 = 0

⇒ 3x(2x – 3) +1(2x – 3) = 0

⇒ (3x+1)(2x-3) = 0

⇒  (3x+1) = 0 और (2x-3) = 0

x = -1/3 और x = 3/2

शून्यक हैं α = -1/3 और β= 3/2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग: α β −b/a
⇒ -(1/3) + (3/2) = -7/6
⇒ -7/6 = -7/6 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ -(1/3) × (3/2) = -(3/6)
⇒ -3/6 = -3/6 (सत्य है)

(iv) 4u+ 8u

माना यहाँ a = 4 , b = 8 और c = 0 है |

गुणनखंड विधि से 

4u (u+2) = 0

⇒ 4u = 0 और (u+2) = 0

x = 0 और x = -2

शून्यक हैं α = 0 और β=  -2

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग: α β −b/a
⇒ 0+(-2) = -(8/4)
⇒ -2 = -2 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ 
⇒ 0 = 0 (सत्य है)

(v) t– 15

माना यहाँ a = 1 , b = 0 और c = -15 है |

गुणनखंड विधि से 

⇒ t2 = 15  

⇒ t = ±√15

t = √15 और t = -√15

शून्यक हैं α = √15 और β=  -√15

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग: α β −b/a
⇒ 
⇒ 0 = 0 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ 15×(-√15) = -15/1 
⇒ -15 = -15 (सत्य है)

(vi) 3x– x – 4

माना यहाँ a = 3 , b = -1 और c = -4 है |

गुणनखंड विधि से 

3x– 4x + 3x – 4 =  

 x(3x-4)+1(3x-4) = 0

 (3x – 4)(x + 1) = 0

⇒ (3x – 4) = 0 और (x + 1) = 0

x = 4/3 और x = -1

शून्यक हैं α = 4/3 और β=  -1

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करें:

  • शून्यकों का योग:α β  −b/a
⇒ 
⇒ 1/3 = 1/3 (सत्य है)
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = c/a
⇒ (4/3)×(-1) = (-4/3) 
⇒ -4/3 = -4/3 (सत्य है)




Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं : 
(i) 1/4 , -1
(ii)√2, 1/3
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) -1/4, 1/4
(vi) 4, 1

हल : 

(i) 1/4 , -1

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  = 1/4
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = -1
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– (1/4) x + (-1) = 0 

⇒ 4x– x - 4 = 0

अतः 4x– x - 4 द्विघात बहुपद है ।

(ii)√2, 1/3

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  2
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = 1/3
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– 2 x + (1/3) = 0 

⇒ 3x- 3√2 x + 1 = 0

अतः 3x- 3√2 x + 1 द्विघात बहुपद है ।

(iii) 0, √5

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  = 0
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β √5
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– (0) x +√5 = 0 

⇒ x2  √5 = 0 

अतः x2  √5 द्विघात बहुपद है ।

(iv) 1, 1

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  = 1
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = 1
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– 1x + 1 = 0 

⇒ x– x + 1 = 0

अतः x– x + 1 द्विघात बहुपद है ।

(v) -1/4, 1/4

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  -1/4
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = 1/4
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– ( -1 / 4) x + (1/4) = 0

⇒ 4x+ x + 1 = 0

अतः  4x+ x + 1 = 0 द्विघात बहुपद है ।

(vi) 4, 1

दिया है :
  • शून्यकों का योग: α β  = 4
  • शून्यकों का गुणनफल: α.β = 1
α और β किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो बहुपद इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x– (α + β) x + αβ = 0 

⇒ x– 4x + 1 = 0

अतः x– 4x + 1 द्विघात बहुपद है ।


👉 महत्वपूर्ण लिंक : 

📝कक्षा 10 गणित अध्याय 2: बहुपद के अब्जेक्टिव प्रश्न 


👉 कक्षा 10 गणित : अभ्यास हल : 

कक्षा 10 गणित अध्याय 2 : बहुपद के लिए NCERT Solutions की मुख्य विशेषताएं:

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  • Step-by-Step Solutionsहर question का हल step-by-step दिया गया है, जो concepts को logically और clearly explain करता है।
  • Easy to UnderstandSolutions को simple और आसानी से समझ में आने वाली language में प्रस्तुत किया गया है, जिससे सभी students इसे आसानी से समझ सकें।
  • Well-Structured FormatSolutions को well-structured format में organize किया गया है ताकि students इसे आसानी से follow कर सकें।
  • Exercise-wise SolutionsNCERT Solutions को exercises में divide किया गया है, जिससे students systematically practice और revise कर सकें।
  • Illustrative Examples: Illustrative examples को भी include किया गया है ताकि students concepts को बेहतर तरीके से समझ सकें।
  • Exam-Oriented ApproachSolutions को exam preparation को ध्यान में रखते हुए बनाया गया है ताकि students अच्छा perform कर सकें।
  • Clarity of Concepts: Solutions polynomials की degree, types (linear, quadratic, cubic), और factorization के fundamental concepts और sum and multiplication of zerosको clear करते हैं।
  • Error-FreeNCERT Solutions को subject matter experts द्वारा तैयार किया गया है, जिससे ये solutions accurate और error-free होते हैं।
  • Accessible for FreeClass 10 Maths Chapter 2 के NCERT Solutions online free में उपलब्ध हैं, जिससे सभी students को आसानी से access मिल सके।


 


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