कक्षा 10 गणित - अध्याय 1 (वास्तविक संख्याएँ) के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर के साथ

 अब्जेक्टिव प्रश्न का रिवीजन भी करलें ये आपको exam में आपको बहुत मदद करेगा 👇




1. 5005 का अभाज्य गुणनखंड है | [2023..1M]

a. 6 x 7 x 11 x 13                 b. 5 x 7 x 11 x 7 x 13

c. 5 x 7 x 11 x 13                 d. इनमें से कोई नहीं 

उत्तर : (c)


2. 3√2एक .............. संख्या है | [2023..1M]

a. परिमेय                                b. अपरिमेय

c. पूर्णांक                                 d. प्राकृत 

उत्तर : (b)


3. 120 का अभाज्य गुणनखंड है | [2022..1M]

a. 2 x 2 x 2 x 3 x 5               b. 2 x 2 x 3 x 3 x 5

c. 2 x 2 x 2 x 3 x 7               d. 2 x 3 x 5 x 7 

उत्तर : (a)


4. अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 3 x 3 का मान है –  [2022..1M]

a. 62              b. 72            c. 92            d. 122

उत्तर : (b)


6. 6 और 20 का HCF है – [2022..1M]

a. 2                b. 6              c. 20            d. 60

उत्तर : (a)


7. किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक विषम संख्या का रूप है [2022..1M]

a. m             b. 2m           c. m + 1      d. 2m + 1

उत्तर : (d)


8. 26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा LCM का ज्ञात कीजिए| [2020..2M]

उत्तर : 26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड

26 = 2 x 13

91 = 7 x 13 

LCM(26,91) = 2 x 7 x 13 = 182.


9. सिद्ध कीजिए कि 7√5एक आपरिमेय संख्या है|[2020,2016..3M]

उत्तर : माना कि 7√5  एक परिमेय संख्या है।

∴हम ऐसे दो पूर्णांक  aतथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं ।  

7√5   = a/b

√5 = a/7b…………..(1)

चूंकि a, 7 और b सभी पूर्णांक है और दो  पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।

अत:  a/7b= परिमेय संख्या

∴समी. (1) से √5 भी एक परिमेय संख्या है।

परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।  

∴हमारी कल्पना गलत है।

अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।


10. 120 को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में लिखिए| [2019..1M]

उत्तर : 120 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 3 x 5


11. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96  और 404  का HCF ज्ञात कीजिए | [2019..2M]

उत्तर : 96  और 404  का अभाज्य गुणनखंड

96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

404 = 2 x 2 x 101

HCF (96, 404) = 2 x 2 =  4


12. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5एक आपरिमेय संख्या है| [2018..3M]

उत्तर : माना कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है ।

हम सहअभाज्य संख्याएं a  तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं।  

3 + 2√5 = a/bजहाँ b ≠ 0

⇒ 2√5 = a/b - 3

⇒ 2√5 = (a - 3b)/b

⇒ √5 = (a - 3b)/2b..........(1)

चूंकि a तथा b पूर्णांक हैं , इसीलिए (a - 3b) और 2b भी पूर्णांक होंगे तथा दो  पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।

∴(a - 3b)/2b= परिमेय संख्या

अतः समीकरण (1) से √5 एक परिमेय संख्या है।

परंतु यह इस तथ्य का  विरोधाभास है कि √5 एक परिमेय संख्या है।  

∴हमारी कल्पना गलत है।  

अतः , 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है ।


13. 140 को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में लिखिए| [2017,2014..1M]

उत्तर : 140 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 5 x 7

 विधार्थी इस चैप्टर का सम्पूर्ण रिवीजन करलें इस से बाहर Exam में कुछ भी नहीं पूछे जाएंगे👇



14. सिद्ध कीजिए कि 5 - √3एक आपरिमेय संख्या है| [2017,2013,2009..3M]

उत्तर : माना कि 5-√3 एक परिमेय संख्या है ।

हम सहअभाज्य संख्याएं a  तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं।  

5- √3 = a/bजहाँ b ≠ 0

⇒ - √3 = a/b - 5

⇒ - √3 = (a - 5b)/b

⇒ √3 = (5b - a)/b..........(1)

चूंकि a तथा b पूर्णांक हैं , इसीलिए (5b - a) और b भी पूर्णांक होंगे तथा दो  पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।

∴(5b - a)/b= परिमेय संख्या

अतः समीकरण (1) से √3 एक परिमेय संख्या है।

परंतु यह इस तथ्य का  विरोधाभास है कि √3 एक परिमेय संख्या है।  

∴हमारी कल्पना गलत है।  

अतः , 5-√3 एक अपरिमेय संख्या है ।


15. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96  और404  का LCM ज्ञात कीजिए | [2016,2012..1M]

उत्तर : 96  और 404  का अभाज्य गुणनखंड

96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

404 = 2 x 2 x 101

LCM (96, 404) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 101  =  9696 


16. किसी परेड में 616 सदस्यों एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है । दोनो समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है इन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या होगी | [2016..3M]

उत्तर : स्तंभ की अधिकतम संख्या ज्ञात करनी है, जिसमें दोनों समूह मार्च कर सकते हैं, हमें 616 और 32 का HCF ज्ञात करने की आवश्यकता है।

⇒32 का गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

⇒ 616 का गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 7 x 11

HCF (616, 32) = 8

स्तंभ की अधिकतम संख्या 8 है, जिसमें दोनों समूह मार्च कर सकते है।


17. सिद्ध कीजिए कि√5एक आपरिमेय संख्या है | [2016..3M]

उत्तर : माना कि √5 एक परिमेय संख्या हैअतः, इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है |

अब, मान लें कि p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं जहाँ q ≠ 0 है

√5 = p / q

तो, p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q ≠ 0 भी हैं

इसलिए,

√5 = p /q

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (√5)2 = (p/q) 2

⇒5  =p2/ q2 ………………………… (1)

⇒5q2  = p2

⇒ p2 /5 = q2

तो, 5, p2को विभाजित करता है और p, 5 का गुणज है।

⇒ p = 5k                       [k = पूर्णांक]

⇒ p² = 25k² …………………………… (2)

समीकरण (1) और (2) से, हम पाते हैं,

5q² = 25k²

⇒ q² = 5m²

q² 5 का गुणज हैइसलिए q, 5 का गुणज है

अतः, p और q के बीच एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

यह इस धारणा का खंडन करता है कि हमने माना है कि वे सह-अभाज्य हैं। 

इसलिए p/q एक परिमेय संख्या नहीं है

फिर, √5 एक अपरिमेय संख्या है।


18. 306 और 657 महत्तम समावर्तक 9 दिया है । तो 306 और 657 का लघुतमज्ञात कीजिए| [2011..1M]

उत्तर : दो संख्याएँ = 306 और 657

महत्तम समापवर्तक = 9

सूत्र:

HCF (a,b) x LCM (a,b) = a x b 

⇒9 ×  LCM = 306 × 657

⇒ LCM = (306 × 657)/9 = 22338


19. सिद्ध कीजिए कि√2 एक आपरिमेय संख्या है | [2011..3M]

उत्तर : माना कि √2 एक परिमेय संख्या है अतः, इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है |

अब, मान लें कि p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं जहाँ q ≠ 0 है

√2 = p / q

तो, p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q ≠ 0 भी हैं

इसलिए,

√2 = p /q

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (√2)2 = (p/q) 2

⇒2  = p2/ q2 ………………………… (1)

⇒2q2  = p2

⇒ p2 /2 = q2

तो, 2, p2को विभाजित करता है और p, 2 का गुणज है।

⇒ p = 2 k                       [k = पूर्णांक]

⇒ p² = 4k² …………………………… (2)

समीकरण (1) और (2) से, हम पाते हैं,

2q² = 4k²

⇒ q² = 2m²

q², 2 का गुणज हैइसलिए q, 2 का गुणज है

अतः, p और q के बीच एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है।

यह इस धारणा का खंडन करता है कि हमने माना है कि वे सह-अभाज्य हैं। 

इसलिए p/q एक परिमेय संख्या नहीं है

फिर, √2 एक अपरिमेय संख्या है।


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