अब्जेक्टिव प्रश्न का रिवीजन भी करलें ये आपको exam में आपको बहुत मदद करेगा 👇
1. 5005 का अभाज्य गुणनखंड है | [2023..1M]
a. 6 x 7 x 11 x 13 b. 5 x 7 x 11 x 7 x 13
c. 5 x 7 x 11 x 13 d. इनमें से कोई नहीं
उत्तर : (c)
2. 3√2एक .............. संख्या है | [2023..1M]
a. परिमेय b. अपरिमेय
c. पूर्णांक d. प्राकृत
उत्तर : (b)
3. 120 का अभाज्य गुणनखंड है | [2022..1M]
a. 2 x 2 x 2 x 3 x 5 b. 2 x 2 x 3 x 3 x 5
c. 2 x 2 x 2 x 3 x 7 d. 2 x 3 x 5 x 7
उत्तर : (a)
4. अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 3 x 3 का मान है – [2022..1M]
a. 62 b. 72 c. 92 d. 122
उत्तर : (b)
6. 6 और 20 का HCF है – [2022..1M]
a. 2 b. 6 c. 20 d. 60
उत्तर : (a)
7. किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक विषम संख्या का रूप है [2022..1M]
a. m b. 2m c. m + 1 d. 2m + 1
उत्तर : (d)
8. 26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा LCM का ज्ञात कीजिए| [2020..2M]
उत्तर : 26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड
26 = 2 x 13
91 = 7 x 13
LCM(26,91) = 2 x 7 x 13 = 182.
9. सिद्ध कीजिए कि 7√5एक आपरिमेय संख्या है|[2020,2016..3M]
उत्तर : माना कि 7√5 एक परिमेय संख्या है।
∴हम ऐसे दो पूर्णांक aतथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं ।
7√5 = a/b
√5 = a/7b…………..(1)
चूंकि a, 7 और b सभी पूर्णांक है और दो पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।
अत: a/7b= परिमेय संख्या
∴समी. (1) से √5 भी एक परिमेय संख्या है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
∴हमारी कल्पना गलत है।
अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।
10. 120 को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में लिखिए| [2019..1M]
उत्तर : 120 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
11. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए | [2019..2M]
उत्तर : 96 और 404 का अभाज्य गुणनखंड
96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
404 = 2 x 2 x 101
HCF (96, 404) = 2 x 2 = 4
12. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5एक आपरिमेय संख्या है| [2018..3M]
उत्तर : माना कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है ।
हम सहअभाज्य संख्याएं a तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं।
3 + 2√5 = a/bजहाँ b ≠ 0
⇒ 2√5 = a/b - 3
⇒ 2√5 = (a - 3b)/b
⇒ √5 = (a - 3b)/2b..........(1)
चूंकि a तथा b पूर्णांक हैं , इसीलिए (a - 3b) और 2b भी पूर्णांक होंगे तथा दो पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।
∴(a - 3b)/2b= परिमेय संख्या
अतः समीकरण (1) से √5 एक परिमेय संख्या है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक परिमेय संख्या है।
∴हमारी कल्पना गलत है।
अतः , 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है ।
13. 140 को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में लिखिए| [2017,2014..1M]
उत्तर : 140 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 5 x 7
विधार्थी इस चैप्टर का सम्पूर्ण रिवीजन करलें इस से बाहर Exam में कुछ भी नहीं पूछे जाएंगे👇
14. सिद्ध कीजिए कि 5 - √3एक आपरिमेय संख्या है| [2017,2013,2009..3M]
उत्तर : माना कि 5-√3 एक परिमेय संख्या है ।
हम सहअभाज्य संख्याएं a तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं।
5- √3 = a/bजहाँ b ≠ 0
⇒ - √3 = a/b - 5
⇒ - √3 = (a - 5b)/b
⇒ √3 = (5b - a)/b..........(1)
चूंकि a तथा b पूर्णांक हैं , इसीलिए (5b - a) और b भी पूर्णांक होंगे तथा दो पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।
∴(5b - a)/b= परिमेय संख्या
अतः समीकरण (1) से √3 एक परिमेय संख्या है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि √3 एक परिमेय संख्या है।
∴हमारी कल्पना गलत है।
अतः , 5-√3 एक अपरिमेय संख्या है ।
15. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और404 का LCM ज्ञात कीजिए | [2016,2012..1M]
उत्तर : 96 और 404 का अभाज्य गुणनखंड
96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
404 = 2 x 2 x 101
LCM (96, 404) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 101 = 9696
16. किसी परेड में 616 सदस्यों एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है । दोनो समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है इन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या होगी | [2016..3M]
उत्तर : स्तंभ की अधिकतम संख्या ज्ञात करनी है, जिसमें दोनों समूह मार्च कर सकते हैं, हमें 616 और 32 का HCF ज्ञात करने की आवश्यकता है।
⇒32 का गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
⇒ 616 का गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 7 x 11
HCF (616, 32) = 8
स्तंभ की अधिकतम संख्या 8 है, जिसमें दोनों समूह मार्च कर सकते है।
17. सिद्ध कीजिए कि√5एक आपरिमेय संख्या है | [2016..3M]
उत्तर : माना कि √5 एक परिमेय संख्या हैअतः, इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है |
अब, मान लें कि p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं जहाँ q ≠ 0 है
√5 = p / q
तो, p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q ≠ 0 भी हैं
इसलिए,
√5 = p /q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,
⇒ (√5)2 = (p/q) 2
⇒5 =p2/ q2 ………………………… (1)
⇒5q2 = p2
⇒ p2 /5 = q2
तो, 5, p2को विभाजित करता है और p, 5 का गुणज है।
⇒ p = 5k [k = पूर्णांक]
⇒ p² = 25k² …………………………… (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम पाते हैं,
5q² = 25k²
⇒ q² = 5m²
q² 5 का गुणज हैइसलिए q, 5 का गुणज है
अतः, p और q के बीच एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।
यह इस धारणा का खंडन करता है कि हमने माना है कि वे सह-अभाज्य हैं।
इसलिए p/q एक परिमेय संख्या नहीं है
फिर, √5 एक अपरिमेय संख्या है।
18. 306 और 657 महत्तम समावर्तक 9 दिया है । तो 306 और 657 का लघुतमज्ञात कीजिए| [2011..1M]
उत्तर : दो संख्याएँ = 306 और 657
महत्तम समापवर्तक = 9
सूत्र:
HCF (a,b) x LCM (a,b) = a x b
⇒9 × LCM = 306 × 657
⇒ LCM = (306 × 657)/9 = 22338
19. सिद्ध कीजिए कि√2 एक आपरिमेय संख्या है | [2011..3M]
उत्तर : माना कि √2 एक परिमेय संख्या है अतः, इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है |
अब, मान लें कि p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं जहाँ q ≠ 0 है
√2 = p / q
तो, p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q ≠ 0 भी हैं
इसलिए,
√2 = p /q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,
⇒ (√2)2 = (p/q) 2
⇒2 = p2/ q2 ………………………… (1)
⇒2q2 = p2
⇒ p2 /2 = q2
तो, 2, p2को विभाजित करता है और p, 2 का गुणज है।
⇒ p = 2 k [k = पूर्णांक]
⇒ p² = 4k² …………………………… (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम पाते हैं,
2q² = 4k²
⇒ q² = 2m²
q², 2 का गुणज हैइसलिए q, 2 का गुणज है
अतः, p और q के बीच एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है।
यह इस धारणा का खंडन करता है कि हमने माना है कि वे सह-अभाज्य हैं।
इसलिए p/q एक परिमेय संख्या नहीं है
फिर, √2 एक अपरिमेय संख्या है।
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